Caractéristiques de la méthode axiomatique, étapes, exemples



Le méthode axiomatique ou encore appelée axiomatique est une procédure formelle utilisée par les sciences au moyen desquelles des énoncés ou des propositions appelés axiomes sont formulés, reliés entre eux par une relation de déductibilité et qui sont la base des hypothèses ou conditions d'un certain système.

Cette définition générale doit s'inscrire dans le cadre de l'évolution de cette méthodologie à travers l'histoire. Premièrement, il existe une méthode ou un contenu ancien, né dans la Grèce antique d’Euclide et développé plus tard par Aristote.

Deuxièmement, déjà au dix-neuvième siècle, l'apparition d'une géométrie avec des axiomes différents de ceux d'Euclide. Et enfin, la méthode axiomatique formelle ou moderne, dont l'exposant maximal était David Hilbert.

Au-delà de son développement au fil du temps, cette procédure a été à la base de la méthode déductive utilisée dans la géométrie et la logique à l’origine. Il a également été utilisé en physique, en chimie et en biologie.

Et il a même été appliqué à la science juridique, à la sociologie et à l'économie politique. Cependant, son domaine d'application le plus important est actuellement les mathématiques et la logique symbolique et certaines branches de la physique telles que la thermodynamique, la mécanique, entre autres.

Index

  • 1 caractéristiques
    • 1.1 Ancienne méthode ou contenu axiomatique
    • 1.2 Méthode axiomatique non euclidienne
    • 1.3 Méthode axiomatique moderne ou formelle
  • 2 étapes
  • 3 exemples
  • 4 références

Caractéristiques 

Bien que la caractéristique fondamentale de cette méthode soit la formulation des axiomes, ceux-ci n'ont pas toujours été considérés de la même manière.

Certains peuvent être définis et construits de manière arbitraire. Et d'autres, selon un modèle dans lequel sa vérité garantie intuitivement est considérée.

Afin de comprendre spécifiquement en quoi consiste cette différence et ses conséquences, il est nécessaire de revoir l'évolution de cette méthode.

Méthode ou contenu axiomatique ancien

C'est celle établie dans la Grèce antique vers le 5ème siècle avant JC. Sa sphère d'application est la géométrie. Le travail fondamental de cette étape est constitué par les éléments d’Euclide, bien que Pythagore, avant lui, ait déjà donné naissance à la méthode axiomatique.

Ainsi, les Grecs prennent certains faits comme des axiomes, sans exiger aucune preuve logique, c'est-à-dire sans avoir besoin de démonstration, car pour eux ils sont une vérité évidente.

Euclides présente pour sa part cinq axiomes pour la géométrie:

1-Deux points donnés, il y a une ligne qui les contient ou les rejoint.

2-Tout segment peut être poursuivi en continu sur une ligne illimitée des deux côtés.

3-Vous pouvez dessiner un cercle qui a un centre en tout point et n'importe quel rayon.

4-angles droits sont tous les mêmes.

5-En prenant n'importe quelle ligne droite et tout point qui n'y est pas, il y a une ligne parallèle à celle-ci et qui contient ce point. Cet axiome est connu, après coup, comme l'axiome des parallèles et a été énoncé également comme suit: par un point en dehors d'une ligne, on peut dessiner un seul parallèle.

Cependant, tant les mathématiciens qu'Euclide et tous les deux conviennent que le cinquième axiome n'est pas aussi intuitivement intuitif que les quatre autres. Même à la Renaissance, on essaie d'en déduire le cinquième des quatre autres, mais ce n'est pas possible.

Cela fait qu'au dix-neuvième siècle déjà, ceux qui soutenaient les cinq étaient des partisans de la géométrie euclidienne et ceux qui niaient le cinquième étaient ceux qui créaient les géométries non-euclidiennes.

Méthode axiomatique non euclidienne

C'est précisément Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai et Johann Karl Friedrich Gauss qui voient la possibilité de construire, sans contradiction, une géométrie issue de systèmes d'axiomes différents de ceux d'Euclide. Cela détruit la croyance en la vérité absolue ou a priori des axiomes et des théories qui en découlent.

Par conséquent, les axiomes commencent à être conçus comme points de départ d'une théorie donnée. Aussi, leur choix et le problème de leur validité d’une manière ou d’une autre commencent à être liés à des faits extérieurs à la théorie axiomatique.

De cette manière apparaissent des théories géométriques, algébriques et arithmétiques construites au moyen de la méthode axiomatique.

Cette étape culmine avec la création de systèmes axiomatiques pour l'arithmétique tels que celui de Giuseppe Peano en 1891; la géométrie de David Hubert en 1899; les déclarations et les calculs de prédiction d'Alfred North Whitehead et de Bertrand Russell, en Angleterre en 1910; la théorie axiomatique des décors d'Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo en 1908.

Méthode axiomatique moderne ou formelle

C'est David Hubert qui initie la conception d'une méthode axiomatique formelle et qui conduit à son aboutissement, David Hilbert.

C'est précisément Hilbert qui formalise le langage scientifique, considérant ses énoncés comme des formules ou des séquences de signes qui n'ont aucun sens en soi. Ils n'acquièrent un sens que dans une certaine interprétation.

Dans "Les bases de la géométrie"Explique le premier exemple de cette méthodologie.De là, la géométrie devient une science des conséquences logiques pures, extraites d'un système d'hypothèses ou d'axiomes, mieux articulées que le système euclidien.

En effet, dans l’ancien système, la théorie axiomatique repose sur l’évidence des axiomes. Tandis que la base de la théorie formelle est donnée par la démonstration de la non-contradiction de ses axiomes.

Étapes 

La procédure qui réalise une structuration axiomatique au sein des théories scientifiques reconnaît:

a-le choix d'un certain nombre d'axiomes, c'est-à-dire un certain nombre de propositions d'une certaine théorie qui sont acceptées sans avoir besoin d'être démontrées.

b-les concepts qui font partie de ces propositions ne sont pas déterminés dans le cadre de la théorie donnée.

c-les règles de définition et de déduction de la théorie donnée sont fixes et permettent d'introduire de nouveaux concepts dans la théorie et d'en déduire logiquement certaines propositions.

d-les autres propositions de la théorie, c'est-à-dire le théorème, sont déduites de a sur la base de c.

Des exemples

Cette méthode peut être vérifiée par la démonstration des deux théorèmes d'Euclide les plus connus: le théorème de la jambe et le théorème de la hauteur.

Les deux résultent de l'observation de ce géométriste grec que lorsque la hauteur est tracée par rapport à l'hypoténuse dans un triangle rectangle, deux triangles apparaissent plus que l'original. Ces triangles sont semblables les uns aux autres et en même temps similaires au triangle d'origine. Cela suppose que leurs côtés homologues respectifs sont proportionnels.

On peut voir que les angles congruents dans les triangles vérifient ainsi la similarité qui existe entre les trois triangles impliqués selon le critère de similarité AAA. Ce critère considère que lorsque deux triangles ont tous leurs angles égaux, ils sont similaires.

Une fois que l'on montre que les triangles sont similaires, les proportions spécifiées dans le premier théorème peuvent être établies. Il indique que dans un triangle rectangle, la mesure de chaque jambe est une moyenne proportionnelle géométrique entre l'hypoténuse et la projection du cathéter.

Le second théorème est celui de la hauteur. Il spécifie que tout triangle rectangle dont la hauteur est dessinée selon l'hypoténuse est une moyenne proportionnelle géométrique entre les segments déterminés par cette moyenne géométrique sur l'hypoténuse.

Bien entendu, les deux théorèmes ont de nombreuses applications dans le monde entier, non seulement dans le domaine de l'éducation, mais aussi dans l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie.

Références

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Géométrie, formalisme et intuition: David Hilbert et la méthode axiomatique formelle (1895-1905). Philosophy Magazine, Vol 39 Núm. 2, pp.121-146. Tiré de revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Pensée axiomatique. Dans W.Ewald, rédacteur en chef, de Kant à Hilbert: un livre de référence sur les mathématiques. Volume II, pp 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Quelle est la méthode axiomatique? Synthese, novembre 2011, volume 189, pp.69-85. Tiré de link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Introduction à la philosophie du droit contemporain. (pp.48-49). Tiré de books.google.com.ar.
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  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert entre le côté formel et informel des mathématiques. Manuscrit vol. 38 non. 2, Campinas Juillet / Août 2015. Tiré de scielo.br.