13 classes d'ensembles et d'exemples

Le types d'ensembles ils peuvent être classés comme égaux, finis et infinis, sous-ensembles, vides, disjoints ou disjonctifs, équivalents, unitaires, superposés ou superposés, congruents et non congruents, entre autres.

Un ensemble est une collection d'objets, mais de nouveaux termes et symboles sont nécessaires pour pouvoir parler raisonnablement des ensembles.

En langage ordinaire, le sens dans lequel on vit classifie les choses. L'espagnol a beaucoup de mots pour ces collections. Par exemple, "un troupeau d'oiseaux", "un troupeau de bovins", "un essaim d'abeilles" et "une colonie de fourmis".

En mathématiques, quelque chose de similaire est fait lorsque les nombres, les figures géométriques, etc. sont classées. Les objets de ces ensembles sont appelés éléments de l'ensemble.

Description d'un ensemble

Un ensemble peut être décrit en listant tous ses éléments. Par exemple,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S est l'ensemble dont les éléments sont 1, 3, 5, 7 et 9." Les cinq éléments de l'ensemble sont séparés par des virgules et sont répertoriés entre accolades.

Un ensemble peut également être délimité en présentant une définition de ses éléments entre parenthèses. Ainsi, l'ensemble S ci-dessus peut aussi être écrit comme suit:

S = {entiers impairs inférieurs à 10}.

Un ensemble doit être bien défini. Cela signifie que la description des éléments d'un ensemble doit être claire et sans ambiguïté. Par exemple, {personnes de grande taille} n'est pas un ensemble, car les gens ont tendance à être en désaccord avec ce que signifie «élevé». Un exemple d'un ensemble bien défini est

T = {lettres de l'alphabet}.

Types d'ensembles

1- Ensembles égaux

Deux ensembles sont identiques s'ils ont exactement les mêmes éléments.

Par exemple:

• Si A = {Vocals de l'alphabet} et B = {a, e, i, o, u} on dit que A = B.
• Par contre, les ensembles {1, 3, 5} et {1, 2, 3} ne sont pas les mêmes, car ils ont des éléments différents. Ceci est écrit comme {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• L'ordre dans lequel les éléments sont écrits entre crochets n'a pas d'importance. Par exemple, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Si un élément apparaît dans la liste plus d'une fois, il est compté une seule fois. Par exemple, {a, a, b} = {a, b}.

L'ensemble {a, a, b} n'a que les deux éléments a et b. La deuxième mention de a est une répétition inutile et peut être ignorée. Il est généralement considéré comme une mauvaise notation lors de l'inscription d'un article plus d'une fois.

2- Ensembles finis et infinis

Les ensembles finis sont ceux dans lesquels tous les éléments de l'ensemble peuvent être comptés ou répertoriés. Voici deux exemples:

• {Nombres entiers entre 2 000 et 2 005} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
• {Nombre entier compris entre 2 000 et 3 000} = {2 001, 2 002, 2 003, ..., 2 999}

Les trois points "..." dans le deuxième exemple représentent les 995 autres numéros de l'ensemble. Tous les éléments auraient pu être répertoriés, mais pour gagner de la place, des points ont été utilisés à la place. Cette notation ne peut être utilisée que si tout est clair, comme dans cette situation.

Un ensemble peut aussi être infini - la seule chose qui compte est qu’il soit bien défini. Voici deux exemples d'ensembles infinis:

• {Nombres pairs et entiers supérieurs ou égaux à deux} = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• {Nombres entiers supérieurs à 2 000} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004, ...}

Les deux ensembles sont infinis, car peu importe le nombre d'éléments que vous essayez d'énumérer, il y a toujours plus d'éléments dans l'ensemble qui ne peuvent pas être répertoriés, peu importe combien de temps vous essayez. Cette fois, les points "..." ont un sens légèrement différent, car ils représentent une infinité d'éléments non répertoriés.

3- Ensembles de sous-ensembles

Un sous-ensemble fait partie d'un ensemble.

• Exemple: Les hiboux sont un type particulier d’oiseau, donc chaque hibou est aussi un oiseau. Dans le langage des ensembles, il est exprimé en disant que l’ensemble des hiboux est un sous-ensemble de l’ensemble des oiseaux.

Un ensemble S est appelé un sous-ensemble d'un autre ensemble T, si chaque élément de S est un élément de T. Ceci est écrit comme suit:

• S ⊂ T (Read "S est un sous-ensemble de T")

Le nouveau symbole ⊂ signifie «c'est un sous-ensemble de». Alors {chouettes} ⊂ {oiseaux} car chaque chouette est un oiseau.

• Si A = {2, 4, 6} et B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, alors A ⊂ B,

Parce que chaque élément de A est un élément de B.

Le symbole ⊄ signifie «ce n'est pas un sous-ensemble».

Cela signifie qu'au moins un élément de S n'est pas un élément de T. Par exemple:

• {Oiseaux} ⊄ {créatures volantes}

Parce qu'une autruche est un oiseau, mais elle ne vole pas.

• Si A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {2, 3, 4, 5, 6}, alors A ⊄

Parce que 0 ∈ A, mais 0 ∉ B, il lit "0 appartient à l'ensemble A", mais "0 n'appartient pas à l'ensemble B".

4- Ensemble vide

Le symbole Ø représente l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble qui ne contient aucun élément. Rien dans l'univers entier n'est un élément de Ø:

• | Ø | = 0 et X ∉ Ø, peu importe ce que X peut être.

Il n'y a qu'un seul ensemble vide, car deux ensembles vides ont exactement les mêmes éléments, ils doivent donc être égaux.

5- Ensembles disjoints ou disjoints

Deux ensembles sont appelés disjoints s'ils n'ont pas d'éléments communs. Par exemple:

• Les ensembles S = {2, 4, 6, 8} et T = {1, 3, 5, 7} sont disjoints.

6- Ensembles équivalents

On dit que A et B sont équivalents s'ils ont le même nombre d'éléments qui les constituent, c'est-à-dire que le nombre cardinal de l'ensemble A est égal au nombre cardinal de l'ensemble B, n (A) = n (B). Le symbole représentant un ensemble équivalent est «↔».

• Par exemple:
  A = {1, 2, 3}, donc n (A) = 3
  B = {p, q, r}, donc n (B) = 3
  Par conséquent, A ↔ B

7- Ensembles d'unités

C'est un ensemble qui contient exactement un élément. En d'autres termes, il n'y a qu'un seul élément qui constitue le tout.

Par exemple:

• S = {a}
• Soit B = {est un nombre premier pair}

Par conséquent, B est un ensemble unitaire car il n'y a qu'un seul nombre premier qui est pair, c'est-à-dire 2.

8- Ensemble universel ou référentiel

Un ensemble universel est la collection de tous les objets dans un contexte ou une théorie particulière. Tous les autres ensembles de cette image sont des sous-ensembles de l'ensemble universel, qui porte le nom de la lettre majuscule et de la lettre cursive U.

La définition précise de U dépend du contexte ou de la théorie considérée. Par exemple:

• Vous pouvez définir U comme l'ensemble de tous les êtres vivants sur la planète Terre. Dans ce cas, l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U.
• Si nous définissons U comme l'ensemble de tous les animaux de la planète Terre, l'ensemble de tous les félins est un sous-ensemble de U, l'ensemble de tous les poissons est un autre sous-ensemble de U, mais l'ensemble de tous les arbres n'est pas un sous-ensemble de U.

9- Ensembles superposés ou superposés

Deux ensembles ayant au moins un élément commun sont appelés ensembles chevauchants.

• Exemple: Soit X = {1, 2, 3} et Y = {3, 4, 5}

Les deux ensembles X et Y ont un élément en commun, le nombre 3. Par conséquent, ils sont appelés ensembles qui se chevauchent.

10- Ensembles Congruents.

Sont ces ensembles dans lesquels chaque élément de A a la même relation de distance avec ses éléments image de B. Exemple:

• B {2, 3, 4, 5, 6} et A {1, 2, 3, 4, 5}

La distance entre: 2 et 1, 3 et 2, 4 et 3, 5 et 4, 6 et 5 est une (1) unité, donc A et B sont des ensembles congruents.

11- Ensembles non congruents

Ce sont ceux dans lesquels la même relation de distance entre chaque élément de A ne peut pas être établie avec son image en B. Exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500} et A {1, 2, 3, 4, 5}

La distance entre: 2 et 1, 8 et 2, 20 et 3, 100 et 4, 500 et 5 est différente, donc A et B sont des ensembles non congruents.

12- Ensembles homogènes

Tous les éléments qui composent le jeu appartiennent à la même catégorie, au même genre ou à la même classe. Ils sont du même type. Exemple:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Tous les éléments de B sont des nombres, donc l'ensemble est considéré comme homogène.

13- Ensembles hétérogènes

Les éléments faisant partie de l'ensemble appartiennent à des catégories différentes. Exemple:

• A {z, auto, π, bâtiments, pomme}

Il n'y a pas de catégorie à laquelle appartiennent tous les éléments de l'ensemble, c'est donc un ensemble hétérogène.

Références

1. Brown, P. et al (2011). Ensembles et diagrammes de Venn. Melbourne, Université de Melbourne.
2. Ensemble fini. Extrait de: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L et Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normal (Académique). Singapour, Pearson Education Asie du Sud Pte Ld.
4. Extrait de: searchsecurity.techtarget.com.
5. Types d'ensembles. Extrait de: math-only-math.com.