Démonstration du théorème binomial et exemples

Le théorème binomial est une équation qui nous dit comment développer une expression de la forme (a + b)ⁿ pour un certain nombre naturel n. Un binôme n'est rien d'autre que la somme de deux éléments, comme (a + b). Cela nous permet aussi de savoir pour un terme donné par un^kb^n-k quel est le coefficient qui l'accompagne.

Ce théorème est communément attribué à l’inventeur, physicien et mathématicien anglais Sir Isaac Newton; Cependant, plusieurs documents ont été trouvés qui indiquent qu'au Moyen-Orient son existence était déjà connue, vers l'an 1000.

Index

• 1 numéros combinatoires
• 2 démonstration
• 3 exemples
  • 3.1 Identité 1
  • 3.2 Identité 2
• 4 Une autre démonstration
  • 4.1 Démonstration par induction
• 5 curiosités
• 6 références

Nombres combinatoires

Le théorème binomial nous dit mathématiquement ce qui suit:

Dans cette expression, a et b sont des nombres réels et n est un nombre naturel.

Avant de faire la démonstration, voyons quelques concepts de base nécessaires.

Le nombre combinatoire ou les combinaisons de n dans k est exprimé comme suit:

Cette forme exprime la valeur du nombre de sous-ensembles contenant k éléments pouvant être choisis parmi un ensemble de n éléments. Son expression algébrique est donnée par:

Voyons un exemple: supposons que nous avons un groupe de sept boules, dont deux sont rouges et les autres sont bleues.

Nous voulons savoir combien de façons nous pouvons les commander à la suite. Un moyen pourrait être de placer les deux rouges dans les première et deuxième positions, et le reste des balles dans les positions restantes.

Semblable au cas précédent, nous pourrions donner aux boules rouges les première et dernière positions respectivement et occuper les autres avec des boules bleues.

Maintenant, un moyen efficace de dire combien de façons nous pouvons commander les balles dans une rangée utilise les nombres combinatoires. Nous pouvons voir chaque position comme un élément de l'ensemble suivant:

Ensuite, il suffit de choisir un sous-ensemble de deux éléments, chacun de ces éléments représentant la position que les balles rouges occuperont. Nous pouvons faire ce choix en fonction de la relation donnée par:

De cette façon, nous avons 21 façons de trier ces balles.

L'idée générale de cet exemple sera très utile dans la démonstration du théorème binomial. Regardons un cas particulier: si n = 4, nous avons (a + b)⁴, qui n'est rien de plus que:

Lorsque nous développons ce produit, nous avons la somme des termes obtenus en multipliant un élément de chacun des quatre facteurs (a + b). Ainsi, nous aurons des termes qui seront de la forme:

Si nous voulions obtenir le terme du formulaire pour⁴, multipliez simplement comme suit:

Notez qu'il n'y a qu'une seule façon d'obtenir cet élément; mais si nous cherchons maintenant le terme de la forme à²b²? Puisque "a" et "b" sont des nombres réels et que, par conséquent, la loi commutative est valide, nous avons un moyen d’obtenir ce terme qui consiste à multiplier avec les membres comme indiqué par les flèches.

Effectuer toutes ces opérations est généralement un peu fastidieux, mais si nous considérons le terme "a" comme une combinaison où nous voulons savoir combien de manières nous pouvons choisir deux "a" parmi un ensemble de quatre facteurs, nous pouvons utiliser l’idée de l’exemple précédent. Donc, nous avons ce qui suit:

Donc, nous savons que dans le développement final de l'expression (a + b)⁴ nous aurons exactement 6a²b². En utilisant la même idée pour les autres éléments, vous devez:

Ensuite, nous ajoutons les expressions obtenues précédemment et nous devons:

C'est une démonstration formelle pour le cas général où "n" est un nombre naturel quelconque.

Démonstration

Notez que les termes qui restent lors du développement (a + b)ⁿ sont de la forme à^kb^n-k, où k = 0,1, ..., n. En utilisant l'idée de l'exemple précédent, nous avons le moyen de choisir "k" variables "a" parmi les "n" facteurs est:

En choisissant de cette manière, nous choisissons automatiquement les variables n-k "b". Il en résulte que:

Des exemples

Considérant (a + b)⁵, Quel serait son développement?

Par le théorème binomial, nous devons:

Le théorème binomial est très utile si nous avons une expression dans laquelle nous voulons savoir quel est le coefficient d'un terme spécifique sans avoir à effectuer le développement complet. Par exemple, nous pouvons répondre à la question suivante: quel est le coefficient de x⁷et⁹ dans le développement de (x + y)¹⁶?

Par le théorème binomial, on a que le coefficient est:

Un autre exemple serait: quel est le coefficient de x⁵et⁸ dans le développement de (3x-7y)¹³?

Tout d'abord, nous réécrivons l'expression de manière pratique. c'est:

Alors, en utilisant le théorème binomial, on a que le coefficient recherché est quand on a k = 5

Un autre exemple des utilisations de ce théorème est la démonstration de certaines identités communes, telles que celles mentionnées ci-dessous.

Identité 1

Si "n" est un nombre naturel, il faut:

Pour la démonstration, nous utilisons le théorème binomial, où "a" et "b" prennent la valeur 1.Ensuite, nous sommes partis:

De cette façon, nous avons prouvé la première identité.

Identité 2

Si "n" est un nombre naturel, alors

Par le théorème binomial, nous devons:

Une autre démonstration

Nous pouvons faire une démonstration différente du théorème binomial en utilisant la méthode inductive et l’identité pascal, qui nous dit que si "n" et "k" sont des entiers positifs qui rencontrent n ≥ k, alors:

Démonstration par induction

Voyons d'abord que la base inductive est remplie. Si n = 1, il faut:

En effet, nous voyons que c'est rempli. Soit maintenant n = j tel qu'il soit rempli:

Nous voulons voir que pour n = j + 1, il est satisfait que:

Donc, nous devons:

Par hypothèse, nous savons que:

Ensuite, en utilisant la propriété distributive:

Par la suite, en développant chacune des sommations que nous avons:

Maintenant, si nous nous regroupons de manière pratique, nous devons:

En utilisant l'identité de pascal, nous devons:

Enfin, notez que:

Par conséquent, nous voyons que le théorème binomial est rempli pour tous les "n" appartenant au nombre naturel, et avec cela le test se termine.

Curiosités

Le nombre combinatoire (nk) est aussi appelé coefficient binomial car c'est précisément le coefficient qui apparaît dans le développement du binôme (a + b)ⁿ.

Isaac Newton a donné une généralisation de ce théorème pour le cas où l'exposant est un nombre réel; Ce théorème est connu sous le nom de théorème binomial de Newton.

Dans les temps anciens, ce résultat était connu pour le cas particulier où n = 2. Ce cas est mentionné dans le Éléments d'Euclide

Références

1. Johnsonbaugh Richard. Mathématiques discrètes PHH
2. Kenneth.H. Rosen, les mathématiques discrètes et leurs applications. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Mathématiques discrètes. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Mathématiques discrètes et combinatoires. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Mathématiques discrètes et Combinatoria.Anthropos