Théorème de Varignon Exemples et exercices résolus



Le Théorème de Varignon établit que si dans n'importe quel quadrilatère des points sont continuellement reliés aux côtés, un parallélogramme est généré. Ce théorème a été formulé par Pierre Varignon et publié en 1731 dans le livre Éléments de mathématiques”.

La publication du livre a eu lieu des années après sa mort. Puisque Varignon était celui qui présentait ce théorème, le parallélogramme porte son nom. Le théorème est basé sur la géométrie euclidienne et présente les relations géométriques des quadrilatères.

Index

  • 1 Quel est le théorème de Varignon?
  • 2 exemples
    • 2.1 Premier exemple
    • 2.2 Deuxième exemple
  • 3 exercices résolus
    • 3.1 Exercice 1
    • 3.2 Exercice 2
    • 3.3 Exercice 3
  • 4 références

Quel est le théorème de Varignon?

Varignon prétend qu'une figure définie par les points médians d'un quadrilatère se traduira toujours par un parallélogramme et que sa surface sera toujours la moitié de celle du quadrilatère si elle est plate et convexe. Par exemple:

Sur la figure, on peut voir un quadrilatère avec une zone X, où les milieux des côtés sont représentés par E, F, G et H et, lorsqu'ils sont joints, forment un parallélogramme. L'aire du quadrilatère sera la somme des zones des triangles formés et la moitié de celle-ci correspond à l'aire du parallélogramme.

La surface du parallélogramme étant la moitié de celle du quadrilatère, le périmètre de ce parallélogramme peut être déterminé.

Ainsi, le périmètre est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère; En effet, la médiane du quadrilatère sera la diagonale du parallélogramme.

En revanche, si les longueurs des diagonales du quadrilatère sont exactement les mêmes, le parallélogramme sera un diamant. Par exemple:

On peut voir sur la figure que, en joignant les points médians des côtés du quadrilatère, on obtient un losange. Par contre, si les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires, le parallélogramme sera un rectangle.

Le parallélogramme sera également un carré lorsque le quadrilatère aura les diagonales de même longueur et sera également perpendiculaire.

Le théorème n'est pas seulement rempli dans les quadrilatères plats, il est également mis en œuvre en géométrie spatiale ou en grandes dimensions; c'est-à-dire dans les quadrilatères qui ne sont pas convexes. Un exemple de ceci peut être un octaèdre, où les points centraux sont les centroïdes de chaque face et forment un parallélépipède.

De cette manière, en joignant les points médians de différentes figures, on peut obtenir des parallélogrammes. Un moyen simple de vérifier si cela est vraiment vrai est que les côtés opposés doivent être parallèles lorsqu'ils sont étendus.

Des exemples

Premier exemple

Allongement des côtés opposés pour montrer qu'il s'agit d'un parallélogramme:

Deuxième exemple

En joignant les points médians d’un diamant, on obtient un rectangle:

Le théorème est utilisé dans l'union de points situés au milieu des côtés d'un quadrilatère et peut également être utilisé pour d'autres types de points, comme dans une trisection, une penta-section ou même un nombre infini de sections ( nth), afin de diviser les côtés d’un quadrilatère en segments proportionnels.

Exercices résolus

Exercice 1

Nous avons dans la figure un quadrilatère ABCD de la zone Z, où les milieux des côtés sont PQSR. Vérifiez qu'un parallélogramme de Varignon est formé.

Solution

On peut vérifier qu'en joignant les points PQSR, un parallélogramme de Varignon est formé, précisément parce que, dans l’énoncé, les milieux d’un quadrilatère sont donnés.

Pour le démontrer, les points centraux PQSR sont unis, on peut donc voir qu'un autre quadrilatère est formé. Pour montrer qu'il s'agit d'un parallélogramme, il suffit de tracer une ligne droite du point C au point A, vous pouvez donc voir que CA est parallèle à PQ et RS.

De même, en étendant les côtés PQRS, on peut noter que PQ et RS sont parallèles, comme le montre l'image suivante:

Exercice 2

Il a un rectangle tel que les longueurs de tous ses côtés sont égales. Lors de la jonction des points médians de ces côtés, un losange ABCD est formé, qui est divisé par deux diagonales AC = 7cm et BD = 10cm, qui coïncident avec les mesures des côtés du rectangle. Déterminez les zones de diamant et de rectangle.

Solution

En se rappelant que la zone du parallélogramme résultant est la moitié du quadrilatère, vous pouvez déterminer leur surface en sachant que la mesure des diagonales coïncide avec les côtés du rectangle. Donc, vous devez:

AB = D

CD = d

Unrectangle = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Unlosange = A rectangle / 2

Unlosange = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Exercice 3

Nous avons dans la figure un quadrilatère qui a l'union des points EFGH, les longueurs des segments sont données. Déterminez si l'union de EFGH est un parallélogramme.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Solution

Compte tenu de la longueur des segments, il est possible de vérifier s'il y a proportionnalité entre les segments; c'est-à-dire qu'il est possible de savoir si celles-ci sont parallèles, en reliant les segments du quadrilatère de la manière suivante:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Ensuite, la proportionnalité est vérifiée, car:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

De même, en traçant une ligne du point B au point D, nous pouvons voir que EH est parallèle à BD, tout comme BD est parallèle à FG. Par contre, EF est parallèle à GH.

De cette manière, on peut déterminer que EFGH est un parallélogramme, car les côtés opposés sont parallèles.

Références

  1. Andres, T. (2010). Olympiade mathématique Tresure. Springer. New York
  2. Barbosa, J. L. (2006). Géométrie euclidienne plate. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Etude des géométries. Mexique: hispanique - américain.
  4. Ramo, G. P. (1998). Des solutions inconnues aux problèmes de Fermat-Torricelli. ISBN - Travail indépendant.
  5. Vera, F. (1943). Éléments de géométrie Bogotá
  6. Villiers, M. (1996). Quelques aventures en géométrie euclidienne. Afrique du Sud