Théorème de Thalès de Milet Premier, Deuxième et Exemples

Le premier et le second Théorème de Thalès de Milet ils sont basés sur la détermination de triangles à partir d'autres triangles similaires (premier théorème) ou circonférences (second théorème). Ils ont été très utiles dans divers domaines. Par exemple, le premier théorème s'est avéré très utile pour mesurer de grandes structures en l'absence d'instruments de mesure sophistiqués.

Thales était un mathématicien grec qui a apporté des contributions importantes à la géométrie qui mettent en évidence ces deux théorèmes (dans certains textes aussi écrit que Thales) et des applications utiles. Ces résultats ont été utilisés à travers l'histoire et ont permis de résoudre une grande variété de problèmes géométriques.

Index

• 1 premier théorème des contes
  • 1.1 Application
  • 1.2 Exemples
• 2 Second théorème des contes
  • 2.1 Application
  • 2.2 Exemple
• 3 références

Premier théorème des contes

Le premier théorème des contes est un outil très utile qui permet, entre autres, de construire un triangle similaire à un autre, précédemment connu. À partir de cela, diverses versions du théorème peuvent être appliquées dans plusieurs contextes.

Avant de donner votre déclaration, rappelez-vous certaines notions de similarité des triangles. Essentiellement, deux triangles sont similaires si leurs angles sont congruents (ils ont la même mesure). Cela donne lieu au fait que si deux triangles sont similaires, leurs côtés (ou homologues) correspondants sont proportionnels.

Le premier théorème de Thales stipule que si, dans un triangle donné, une ligne droite est parallèle à l'un de ses côtés, le nouveau triangle obtenu sera similaire au triangle initial.

Dans la figure précédente, les triangles ABC et DEC sont similaires. La proportionnalité obtenue grâce à cette similitude donne également lieu à une relation de proportionnalité entre deux côtés d’un même triangle et les deux côtés correspondants de l’autre. Par exemple, en tenant compte du chiffre précédent, vous devez également:Une autre façon dont vous pouvez voir le premier théorème tel et est également utile, est la suivante: si deux lignes L1 et L2 (tout) sont coupées des lignes parallèles (un nombre quelconque de ceux-ci), puis les segments formés dans L1 sont proportionnels à ceux correspondants formés dans L2.

Vous obtenez également une relation entre les angles formés, comme le montre la figure suivante.

Application

Parmi ses nombreuses applications met en évidence un intérêt particulier et doit faire avec l'une des façons dont les mesures de grandes structures ont été faites dans les temps anciens, le temps où il a vécu et où Tales sans compter sur les appareils de mesure modernes Ils existent maintenant.

On dit que c'est ainsi que Thales a réussi à mesurer la plus haute pyramide d'Egypte, Cheops. Pour cela, Thales a supposé que les réflexions des rayons solaires touchaient le sol en formant des lignes parallèles. Dans cette hypothèse, il a collé un bâton ou une canne à la verticale dans le sol.

Il a ensuite utilisé la similitude des deux triangles résultant, celui formé par la longueur de l'ombre de la pyramide (qui peut être calculée facilement) et la hauteur de la pyramide (inconnu), et l'autre formé par les tronçons de l'ombre et la hauteur de la tige (qui peut également être facilement calculée).

En utilisant la proportionnalité entre ces longueurs, vous pouvez effacer et connaître la hauteur de la pyramide.

Bien que cette méthode de mesure peut lancer une erreur approche importante en ce qui concerne la précision de la hauteur et dépend du parallélisme des rayons solaires (qui dépend à son tour un temps précis), il faut reconnaître qu'il est une idée très intelligente et cela a fourni une bonne alternative de mesure pour le temps.

Des exemples

Trouvez la valeur de x dans chaque cas:

Premier cas 

Solution

Nous avons ici deux lignes coupées par deux lignes parallèles. Par le premier théorème de Thales, on a que leurs côtés respectifs sont proportionnels. En particulier:

Deuxième cas

Solution

Nous avons ici deux triangles, l'un formé par un segment parallèle à l'un des côtés de l'autre (précisément le côté de la longueur x). Par le premier théorème de Contes, vous devez:

Deuxième théorème des contes

Le second théorème de Thalès détermine un triangle rectangle inscrit sur une circonférence à chaque point du même.

Un triangle inscrit sur une circonférence est un triangle dont les sommets sont sur la circonférence, étant ainsi contenus dans celui-ci.

Plus précisément, le deuxième théorème de tels états: compte tenu d'une circonférence de centre O et de diamètre AC, chaque point B de la circonférence (autres que A et C) détermine un triangle ABC à angle droit <>

À titre de justification, notons que OA et OB et OC correspondent tous deux au rayon de la circonférence; Par conséquent, leurs mesures sont les mêmes. De là, on obtient que les triangles OAB et OCB sont isocèles, où

On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180º. En utilisant ceci avec le triangle ABC, vous devez:

2b + 2a = 180º.

De manière équivalente, nous avons que b + a = 90º et b + a =

Notons que le triangle rectangle fourni par le deuxième théorème de Thales est précisément celui dont l'hypoténuse est égale au diamètre de la circonférence.Par conséquent, il est complètement déterminé par le demi-cercle qui contient les points du triangle; dans ce cas, le demi-cercle supérieur.

Notons également que dans le triangle rectangle obtenu au moyen du second théorème de Thales, l'hypoténuse est divisée en deux parties égales par OA et OC (le rayon). À son tour, cette mesure est égale au segment OB (également le rayon), qui correspond à la médiane du triangle ABC par B.

En d'autres termes, la longueur de la médiane du triangle rectangle ABC correspondant au sommet B est entièrement déterminée par la moitié de l'hypoténuse. Rappelons que la médiane d'un triangle est le segment de l'un des sommets au milieu du côté opposé; dans ce cas, le segment BO.

Circonférence circonscrite

Une autre façon de voir le deuxième théorème de Thales consiste à utiliser un cercle circonscrit à un triangle rectangle.

En général, un cercle circonscrit à un polygone consiste en la circonférence qui traverse chacun de ses sommets, chaque fois que possible.

J'utilisant le second théorème tel donné un triangle, on peut toujours construire un cercle circonscrit à cela, d'un rayon égal à la moitié de l'hypoténuse et circumcenter (centre du cercle) comme milieu de l'hypoténuse.

Application

Une application très importante du second théorème tel, et peut-être le plus utilisé, est de trouver les lignes de tangente à une circonférence donnée, par un point extérieur P à la (connue).

Note que, compte tenu d'une circonférence (dessinée en bleu dans la figure ci-dessous) et un point P extérieur, il y a deux tangentes à la circonférence passant par P. Sean T et T « les points de tangence, r le rayon du cercle et Ou le centre

On sait que le segment qui va du centre d'un cercle à un point de tangence de celui-ci est perpendiculaire à cette ligne tangente. Ensuite, l'angle OTP est droit.

D'après ce que nous avons vu précédemment dans le premier théorème de Thales et ses différentes versions, nous voyons qu'il est possible d'inscrire le triangle OTP dans une autre circonférence (en rouge).

De manière analogue, on obtient que le triangle OT'P peut être inscrit dans la même circonférence antérieure.

Pour le second théorème d'addition tel que nous obtenons le nouveau diamètre du cercle est précisément l'hypoténuse du triangle OTP (qui est égal à l'hypoténuse du triangle OT'P), et le centre est le point central de cette hypoténuse.

Pour calculer le centre du nouveau cercle assez calcule alors le milieu entre le centre-dire M- circonférence initiale (déjà connue) et le point P (également connu). Ensuite, le rayon sera la distance entre ce point M et P.

Avec le rayon et le centre du cercle rouge on peut trouver son équation cartésienne, dont on se souvient qu'elle est donnée par (x-h)² + (y-k)² = c², où c est le rayon et le point (h, k) est le centre du cercle.

Connaissant maintenant les équations des deux circonférences, nous pouvons les croiser en résolvant le système d'équations formé par celles-ci et en obtenant ainsi les points de tangence T et T '. Enfin, pour connaître les lignes tangentes souhaitées, il suffit de trouver l’équation des droites passant par T et P, et par T 'et P.

Exemple

Considérons une circonférence de diamètre AC, centre O et rayon 1 cm. Soit B un point sur la circonférence tel que AB = AC. Combien mesure AB?

Solution

Pour le deuxième théorème nous avons tel triangle ABC est rectangle et l'hypoténuse correspond au diamètre, qui dans ce cas est de 2 cm (le rayon est égal à 1 cm). Ensuite, par le théorème de Pythagore, nous devons:

Références

1. Ana Lira, P. J. (2006). Géométrie et trigonométrie. Zapopan, Jalisco: éditions à seuil.
2. Goodman, A. et Hirsch, L. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Méthodologie et applications des mathématiques dans E.S.O. Ministère de l'éducation.
4. IGER. (2014). Second semestre de mathématiques Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, L. J. (2006). Mathématiques 2. Zapopan, Jalisco: éditions à seuil.
6. M., S. (1997). Trigonométrie et géométrie analytique. Pearson Education.
7. Pérez, M. A. (2009). Une histoire des mathématiques: défis et conquêtes à travers leurs personnages. Livres de vision éditoriale.
8. Viloria, N. et Leal, J. (2005). Géométrie analytique plate. Editorial vénézuélien C.