Théorème de Moivre Ce qu'il contient, exercices de démonstration et résolus

Le Le théorème de Moivre applique des processus fondamentaux de l'algèbre, tels que les pouvoirs et l'extraction des racines dans les nombres complexes. Le théorème a été énoncé par le célèbre mathématicien français Abraham de Moivre (1730), qui a associé des nombres complexes à la trigonométrie.

Abraham Moivre a fait cette association à travers les expressions du sein et du cosinus. Ce mathématicien a généré une sorte de formule par laquelle il est possible d'élever un nombre complexe z à la puissance n, qui est un entier positif supérieur ou égal à 1.

Index

• 1 Quel est le théorème de Moivre?
• 2 démonstration
  • 2.1 Base inductive
  • 2.2 Hypothèse inductive
  • 2.3 Vérification
  • 2.4 Entier négatif
• 3 exercices résolus
  • 3.1 Calcul des pouvoirs positifs
  • 3.2 Calcul des puissances négatives
• 4 références

Quel est le théorème de Moivre?

Le théorème de Moivre énonce ce qui suit:

Si vous avez un nombre complexe sous la forme polaire z = r_Ɵ, où r est le module du nombre complexe z et l'angle angle s'appelle amplitude ou argument de n'importe quel nombre complexe avec 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, pour calculer sa nième puissance il ne sera pas nécessaire de le multiplier par n fois; c'est-à-dire qu'il n'est pas nécessaire de fabriquer le produit suivant:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ n-fois

Au contraire, le théorème dit que, lors de l’écriture de z sous sa forme trigonométrique, pour calculer la nième puissance, procéder comme suit:

Si z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) alors zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Par exemple, si n = 2, alors z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Si vous avez ce n = 3, alors z³ = z² _* z. En outre:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

De cette manière, les rapports trigonométriques du sinus et du cosinus peuvent être obtenus pour des multiples d'un angle, tant que les rapports trigonométriques de l'angle sont connus.

De même, il peut être utilisé pour trouver des expressions plus précises et moins déroutantes pour la nième racine d’un nombre complexe z, de sorte que zⁿ = 1.

Pour prouver le théorème de Moivre, le principe de l'induction mathématique est utilisé: si un entier "a" a une propriété "P", et si pour tout nombre entier "n" supérieur à "a" la propriété "P" c'est vérifie que n + 1 a également la propriété "P", donc tous les entiers supérieurs ou égaux à "a" ont la propriété "P".

Démonstration

De cette façon, la preuve du théorème se fait avec les étapes suivantes:

Base inductive

Tout d'abord, il est vérifié pour n = 1.

Comme z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], nous avons que pour n = 1 le théorème est rempli.

Hypothèse inductive

On suppose que la formule est vraie pour un entier positif, c'est-à-dire n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Vérification

Il s'est avéré vrai pour n = k + 1.

Comme z^{k + 1}= z^k _* z, puis z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Ensuite, les expressions sont multipliées:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(je_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(je_* senƟ)).

Pendant un moment, le facteur r est ignoré^{k + 1}et le facteur commun i est supprimé:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Comment je² = -1, nous le substituons dans l'expression et nous obtenons:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Maintenant, la partie réelle et la partie imaginaire sont ordonnées:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Pour simplifier l'expression, les identités trigonométriques de la somme des angles du cosinus et du sin sont appliquées, à savoir:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

péché (A + B) = péché A _* cos B - cos A _* cos B.

Dans ce cas, les variables sont les angles Ɵ et kƟ. En appliquant les identités trigonométriques, nous avons:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

De cette façon, l'expression reste:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

On peut donc montrer que le résultat est vrai pour n = k + 1. Par principe d’induction mathématique, on en conclut que le résultat est vrai pour tous les entiers positifs; c'est-à-dire, n ≥ 1.

Integer négatif

Le théorème de Moivre est également appliqué lorsque n ≤ 0. Considérons un entier négatif "n"; alors "n" peut être écrit comme "-m", c'est-à-dire, n = -m, où "m" est un entier positif. Donc:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Pour obtenir l'exposant "m" de manière positive, l'expression est écrite en sens inverse:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 cos (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Maintenant, on utilise que si z = a + b * i est un nombre complexe, alors 1 ÷ z = a-b * i. Donc:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

En utilisant cos (x) = cos (-x) et que -sen (x) = sin (-x), nous devons:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* le péché (nƟ).

De cette manière, on peut dire que le théorème s'applique à toutes les valeurs entières de "n".

Exercices résolus

Calcul des pouvoirs positifs

L'une des opérations avec des nombres complexes sous sa forme polaire est la multiplication entre deux d'entre eux; dans ce cas, les modules sont multipliés et les arguments sont ajoutés.

Si vous avez deux nombres complexes z₁ et Z₂ et vous voulez calculer (z₁* z₂)², procédez comme suit:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

La propriété distributive est appliquée:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_1* je _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂).

Ils sont regroupés, prenant le terme "i" comme facteur commun des expressions:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Comment je² = -1, est substitué dans l'expression:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂) - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂]

Les termes réels sont regroupés avec le réel et l'imaginaire avec l'imaginaire:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_1* cos Ɵ₂ - sen Ɵ_1* sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_1* sen Ɵ₂ + sen Ɵ_1* cos Ɵ₂)]

Enfin, les propriétés trigonométriques sont appliquées:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

En conclusion:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Exercice 1

Écrivez le nombre complexe sous forme polaire si z = - 2 -2i. Puis, en utilisant le théorème de Moivre, calculer z⁴.

Solution

Le nombre complexe z = -2 -2i est exprimé sous la forme rectangulaire z = a + bi, où:

a = -2.

b = -2

Sachant que la forme polaire est z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), vous devez déterminer la valeur du module "r" et la valeur de l'argument "Ɵ". Comme r = √ (a² + b²), les valeurs données sont remplacées:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Ensuite, pour déterminer la valeur de "Ɵ", la forme rectangulaire de celle-ci est appliquée, qui est donnée par la formule:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Puisque tan (Ɵ) = 1 et que vous devez <0, alors vous devez:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Comme la valeur de "r" et "Ɵ" a déjà été obtenue, le nombre complexe z = -2 -2i peut être exprimé sous la forme polaire en substituant les valeurs:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Maintenant, le théorème de Moivre est utilisé pour calculer z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Exercice 2

Trouver le produit de nombres complexes en l'exprimant sous sa forme polaire:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Ensuite, calculez (z1 * z2) ².

Solution

Tout d'abord, le produit des nombres donnés est formé:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Ensuite, les modules sont multipliés ensemble et les arguments sont ajoutés:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

L'expression est simplifiée:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Enfin, le théorème de Moivre est appliqué:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300^o + (i_* 300 sen^o)).

Calcul des puissances négatives

Diviser deux nombres complexes z₁ et Z₂ sous sa forme polaire, le module est divisé et les arguments sont soustraits. Ainsi, le quotient est z₁ ÷ z₂ et il s'exprime comme suit:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Comme dans le cas précédent, si vous voulez calculer (z1 ÷ z2) ³ en premier lieu, la division est faite et ensuite le théorème de Moivre est utilisé.

Exercice 3

Donné:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calculer (z1 ÷ z2) ³.

Solution

En suivant les étapes décrites ci-dessus, on peut conclure que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Références

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Du théorème de Moivre pour les identités de déclenchement. Projet de démonstrations Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopédie des mathématiques.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algèbre et trigonométrie
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Algèbre linéaire. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Précalcul Pearson Education.