Théorème de Lamy (avec exercices résolus)



Le Théorème de Lamy Il établit que lorsqu'un corps rigide est en équilibre et sur l'action de trois forces coplanaires (forces qui sont dans le même plan), ses lignes d'action concourent au même point.

Le théorème a été déduit par le physicien et religieux français Bernard Lamy et provient de la loi des seins. Il est très utilisé pour trouver la valeur d'un angle, de la ligne d'action d'une force ou pour former le triangle de forces.

Index

  • 1 théorème de Lamy
  • 2 exercice résolu
    • 2.1 Solution
  • 3 références

Théorème de Lamy

Le théorème stipule que pour que la condition d'équilibre soit remplie, les forces doivent être coplanaires; c'est-à-dire que la somme des forces exercées sur un point est nulle.

De plus, comme on l’observe dans l’image suivante, il est satisfait que, en étendant les lignes d’action de ces trois forces, elles concourent au même point.

Ainsi, si trois forces sont dans le même plan et sont concurrentes, la grandeur de chaque force sera proportionnelle au sinus de l’angle opposé, formé par les deux autres forces.

On a donc que T1, à partir du sinus de α, est égal au rapport de T2 / β, lui-même égal au rapport de T3 / Ɵ, soit:

Il en résulte que les modules de ces trois forces doivent être égaux si les angles qui forment chaque paire de forces sont égaux à 120º.

Il est possible qu’un des angles soit obtus (mesure entre 900 et 1800). Dans ce cas, le sinus de cet angle sera égal au sinus de l'angle supplémentaire (dans sa paire il mesure 1800).

Exercice déterminé

Il y a un système formé par deux blocs J et K, qui pendent de plusieurs cordes formant des angles par rapport à l'horizontale, comme le montre la figure. Le système est en équilibre et le bloc J pèse 240 N. Déterminez le poids du bloc K.

Solution

Le principe d'action et de réaction est que les tensions exercées dans les blocs 1 et 2 seront égales au poids de celles-ci.

Maintenant, un diagramme de corps libre est construit pour chaque bloc et détermine ainsi les angles qui composent le système.

On sait que la corde qui va de A à B a un angle de 300 , de sorte que l'angle qui le complète est égal à 600 . De cette façon, vous arrivez à 900.

Par contre, là où se trouve le point A, il y a un angle de 600 par rapport à l'horizontale; l'angle entre la verticale et TUn ce sera = 1800 - 600 - 900 = 300.

Ainsi, on obtient que l’angle entre AB et BC = (300 + 900 + 300) et (60)0 + 900 + 60) = 1500 et 2100. En sommant, on vérifie que l'angle total est 3600.

En appliquant le théorème de Lamy, vous devez:

TBC/ sen 1500 = PUn/ sen 1500

TBC = PUn

TBC = 240N.

Au point C, où se trouve le bloc, l'angle entre la chaîne horizontale et la chaîne BC est de 300, donc l'angle complémentaire est égal à 600.

Par contre, vous avez un angle de 600 au point CD; l'angle entre la verticale et TC ce sera = 1800 - 900 - 600 = 300.

Cela se traduit par l'angle dans le bloc K étant = (300 + 600)

Appliquer le théorème de Lamy au point C:

TBC/ sen 1500 = B / sin 900

Q = TBC * 90 sen0 / sen 1500

Q = 240 N * 1 / 0,5

Q = 480 N.

Références

  1. Andersen, K. (2008). La géométrie d'un art: l'histoire de la théorie mathématique de la perspective d'Alberti à Monge. Springer Science & Business Media.
  2. Ferdinand P. Beer, E. R. (2013). Mécanique pour ingénieurs, statique. McGraw-Hill Interamericana.
  3. Francisco Español, J. C. (2015). Résoudre des problèmes d'algèbre linéaire. Ediciones Paraninfo, S.A.
  4. Graham, J. (2005). Force et mouvement Houghton Mifflin Harcourt.
  5. Harpe, P. d. (2000). Rubriques de la théorie des groupes géométriques. University of Chicago Press.
  6. P. To Tipler et G. M. (2005). Physique pour la science et la technologie. Volume I. Barcelone: ​​Reverté S.A.