Formules du théorème d'Euclide, démonstration, application et exercices

Le Théorème d'Euclide montre les propriétés d'un triangle rectangle en traçant une ligne qui le divise en deux nouveaux triangles rectangles semblables les uns aux autres et, à leur tour, similaires au triangle d'origine; il y a alors une relation de proportionnalité.

Euclide était l’un des plus grands mathématiciens et géomètres de l’Age ancien qui a fait plusieurs démonstrations de théorèmes importants. L'un des principaux est celui qui porte son nom, qui a eu une large application.

Cela a été le cas parce que, grâce à ce théorème, il explique de manière simple les relations géométriques existant dans le triangle rectangle, dont les jambes sont liées à leurs projections dans l'hypoténuse.

Index

• 1 Formules et démonstration
  • 1.1 Théorème de la hauteur
  • 1.2 Théorème des jambes
• 2 Relation entre les théorèmes d'Euclide
• 3 exercices résolus
  • 3.1 Exemple 1
  • 3.2 Exemple 2
• 4 références

Formules et démonstration

Le théorème d'Euclide propose que dans chaque triangle rectangle, lorsqu'une ligne est tracée, ce qui représente la hauteur correspondant au sommet de l'angle droit par rapport à l'hypoténuse, deux triangles rectangles sont formés à partir de l'original.

Ces triangles seront similaires les uns aux autres et seront également similaires au triangle d'origine, ce qui signifie que leurs côtés similaires sont proportionnels l'un à l'autre:

Les angles des trois triangles sont congruents; c'est-à-dire que lorsqu'on tourne à 180 degrés sur son sommet, un angle coïncide sur l'autre. Cela implique que tout le monde sera égal.

De cette façon, vous pouvez également vérifier la similitude qui existe entre les trois triangles, par l’égalité de leurs angles. Euclide établit les proportions de deux théorèmes à partir de la similarité des triangles:

- Théorème de la hauteur.

- Théorème des jambes.

Ce théorème a une large application. Dans l'Antiquité, il était utilisé pour calculer des hauteurs ou des distances, ce qui représente un grand progrès pour la trigonométrie.

Il est actuellement appliqué dans plusieurs domaines basés sur les mathématiques, tels que l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie, entre autres domaines.

Théorème de hauteur

Ce théorème indique que dans tout triangle rectangle, la hauteur tirée de l’angle droit par rapport à l’hypoténuse est la moyenne proportionnelle géométrique (le carré de la hauteur) entre les projections des jambes qui détermine l’hypoténuse.

C'est-à-dire que le carré de la hauteur sera égal à la multiplication des jambes projetées qui forment l'hypoténuse:

h_c² = m _* n

Démonstration

Étant donné un triangle ABC, qui est un rectangle au sommet C, lors du tracé de la hauteur, deux triangles rectangles similaires, ADC et BCD, sont générés; par conséquent, leurs côtés correspondants sont proportionnels:

De telle manière que la hauteur h_c qui correspond au segment CD, correspond à l'hypoténuse AB = c, il faut donc:

À son tour, cela correspond à:

Effacer l'hypoténuse (h_c), pour multiplier les deux membres d'égalité, il faut:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Ainsi, la valeur de l'hypoténuse est donnée par:

Théorème des jambes

Ce théorème stipule que, dans tout triangle rectangle, la mesure de chaque jambe sera la moyenne géométrique proportionnelle (le carré de chaque jambe) entre la mesure de l'hypoténuse (complète) et la projection de chaque jambe:

b² = c _* m

un² = c_* n

Démonstration

Étant donné un triangle ABC, qui est un rectangle au sommet C, tel que son hypoténuse est c, en traçant la hauteur (h), les projections des branches a et b, qui sont respectivement les segments m et n, sont déterminées. l'hypoténuse.

Ainsi, nous avons que la hauteur tracée sur le triangle rectangle ABC génère deux triangles de droite similaires, ADC et BCD, de sorte que les côtés correspondants sont proportionnels, comme ceci:

DB = n, qui est la projection de la jambe CB sur l'hypoténuse.

AD = m, qui est la projection du cathetus AC sur l'hypoténuse.

Alors, l'hypoténuse c est déterminée par la somme des jambes de ses projections:

c = m + n

En raison de la similitude des triangles ADC et BCD, nous devons:

Ce qui précède est le même que:

En dégageant la jambe "a" pour multiplier les deux membres d'égalité, il faut:

un _* a = c _* n

un² = c _* n

Ainsi, la valeur de la jambe "a" est donnée par:

De même, par la similitude des triangles ACB et ADC, nous devons:

Ce qui précède est égal à:

En dégageant la jambe "b" pour multiplier les deux membres de l'égalité, il faut:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Ainsi, la valeur de la jambe "b" est donnée par:

Relation entre les théorèmes d'Euclide

Théorèmes en se référant à la hauteur et les pattes sont reliés entre eux parce que la mesure est effectuée à la fois pour l'hypoténuse du triangle.

Par la relation des théorèmes d'Euclide, la valeur de la hauteur peut également être trouvée; c'est possible en effaçant les valeurs de m et n du théorème de la jambe et elles sont remplacées dans le théorème de hauteur. De cette façon, la hauteur est égale à la multiplication des jambes, divisée par l'hypoténuse:

b² = c _* m

m = b² ÷ c 

un² = c _* n

n = a² ÷ c

Dans le théorème de hauteur, m et n sont remplacés:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b² _* un²) ÷ c

Exercices résolus

Exemple 1

Étant donné le triangle ABC, rectangle en A, déterminer la mesure de AC et AD, si AB = 30 cm et BD = 18 cm

Solution

Dans ce cas, nous avons les mesures d'un des pattes projetées (BD) et de l'une des pattes du triangle d'origine (AB). De cette façon, le théorème de la jambe peut être appliqué pour trouver la valeur de la jambe BC.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

La valeur du CD cathetus peut être trouvée en sachant que BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Maintenant, il est possible de déterminer la valeur du cathetus AC, en appliquant à nouveau le théorème de la jambe:

Ca² = CD _* BD

Ca² = 32 _* 50

Ca² = 160

AC = √ 1600 = 40 cm

Pour déterminer la valeur de la hauteur (AD), le théorème de hauteur est appliqué, car les valeurs des jambes projetées CD et BD sont connues:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemple 2

Détermine la valeur de la hauteur (h) d'un triangle MNL, rectangle en N, connaissant les mesures des segments:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solution

Vous avez la mesure d'une des jambes projetées sur l'hypoténuse (PM), ainsi que les mesures des jambes du triangle d'origine. De cette façon, vous pouvez appliquer le théorème de la jambe pour trouver la valeur de l’autre cathéter projeté (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Comme nous connaissons déjà la valeur des jambes et de l'hypoténuse, à travers la relation des théorèmes de la hauteur et des jambes, la valeur de la hauteur peut être déterminée:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b² _* un²) ÷ c.

h = (10² _* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Références

1. Braun, E. (2011). Chaos, fractales et choses étranges. Fonds de culture économique
2. Cabrera, V. M. (1974). Mathématiques modernes, volume 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3ème année math Caracas: Santillana.
4. Encyclopédie Britannica, i. (1995). Encyclopédie Hispanique: Macropedia. Encyclopédie Éditeurs Britannica.
5. Euclide, R. P. (1886). Les éléments de géométrie d'Euclide.
6. Guardeño, A. J. (2000). L'héritage des mathématiques: d'Euclide à Newton, les génies à travers ses livres. Université de Séville.