Le théorème de Bernoulli L'équation, les applications et l'exercice résolu de Bernoulli

Le Théorème de Bernoulli, qui décrit le comportement d'un fluide en mouvement, a été énoncé par le mathématicien et physicien Daniel Bernoulli dans son travail Hydrodynamique. Selon ce principe, un fluide idéal (sans frottement ni viscosité) en circulation par un conduit fermé aura une énergie constante sur son trajet.

Le théorème peut être déduit du principe de conservation de l'énergie et même de la seconde loi de Newton. De plus, le principe de Bernoulli indique également qu'une augmentation de la vitesse d'un fluide signifie une diminution de la pression à laquelle il est soumis, une diminution de son énergie potentielle ou des deux à la fois.

Le théorème a de nombreuses applications différentes, à la fois en ce qui concerne le monde scientifique et la vie quotidienne des personnes.

Ses conséquences se retrouvent dans la force des avions, dans les cheminées des maisons et des industries, dans les conduites d’eau, entre autres.

Index

• 1 équation de Bernoulli
  • 1.1 Forme simplifiée
• 2 applications
• 3 exercice résolu
• 4 références

Équation de Bernoulli

Bien que ce soit Bernoulli qui en ait déduit que la pression diminue lorsque la vitesse d'écoulement augmente, le fait est que c'est Leonhard Euler qui a réellement développé l'équation de Bernoulli telle qu'elle est actuellement connue.

En tout cas, l'équation de Bernoulli, qui n'est rien d'autre que l'expression mathématique de son théorème, est la suivante:

v² ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = constant

Dans cette expression, v est la vitesse du fluide à travers la section considérée, ƿ est la densité du fluide, P est la pression du fluide, g est la valeur de l'accélération de la gravité et z est la hauteur mesurée dans la direction de gravité.

Il est implicite dans l'équation de Bernoulli que l'énergie d'un fluide se compose de trois composants:

- une composante cinétique résultant de la vitesse à laquelle le fluide se déplace.

- une composante potentielle ou gravitationnelle due à la hauteur à laquelle se trouve le fluide.

- Une énergie de pression, qui est ce que le fluide possède en raison de la pression à laquelle il est soumis.

D'autre part, l'équation de Bernoulli peut aussi être exprimée comme ceci:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

Cette dernière expression est très pratique pour analyser les changements qu’un fluide subit lorsque l’un des éléments composant l’équation change.

Forme simplifiée

À certaines occasions, le changement du terme ρgz de l'équation de Bernoulli est minimal par rapport à celui des autres termes, il est donc possible de le négliger. Par exemple, cela se produit dans les courants qu’un avion subit en vol.

A ces occasions, l’équation de Bernoulli s’exprime comme suit:

P + q = P₀

Dans cette expression, q est la pression dynamique et est égale à v ² ∙ ƿ / 2 et P₀ est ce qu'on appelle la pression totale et est la somme de la pression statique P et de la pression dynamique q.

Applications

Le théorème de Bernoulli a des applications nombreuses et variées dans des domaines aussi variés que la science, l'ingénierie, le sport, etc.

Une application intéressante se trouve dans la conception des cheminées. Les cheminées sont construites en hauteur afin d'obtenir une plus grande différence de pression entre la base et la sortie de la cheminée, ce qui facilite l'extraction des gaz de combustion.

Bien entendu, l'équation de Bernoulli s'applique également à l'étude du mouvement des écoulements liquides dans les conduites. De l'équation, il s'ensuit qu'une réduction de la surface transversale du tuyau, afin d'augmenter la vitesse du fluide qui la traverse, implique également une diminution de la pression.

L'équation de Bernoulli est également utilisée dans l'aviation et dans les véhicules de Formule 1. Dans le cas de l'aviation, l'effet Bernoulli est à l'origine du support des avions.

Les ailes de l'avion sont conçues dans le but d'obtenir un plus grand débit d'air dans la partie supérieure de l'aile.

Ainsi, dans la partie supérieure de l'aile, la vitesse de l'air est élevée et donc la pression inférieure. Cette différence de pression produit une force dirigée verticalement vers le haut (force de levage) qui permet aux aéronefs de se maintenir dans les airs. Un effet similaire est obtenu dans les ailerons des voitures de Formule 1.

Exercice déterminé

À travers un tuyau de 4,2 cm de section² un flux d'eau s'écoule à 5,18 m / s. L'eau descend d'une hauteur de 9,66 m à un niveau inférieur avec une hauteur de zéro, tandis que la surface transversale du tube augmente jusqu'à 7,6 cm².

a) Calculez la vitesse du débit d’eau dans le niveau inférieur.

b) Déterminez la pression dans le niveau inférieur en sachant que la pression dans le niveau supérieur est de 152 000 Pa.

Solution

a) Puisque le flux doit être conservé, il en résulte que:

Q_{Niveau supérieur} = Q_{niveau inférieur}

v₁ . S₁ = v₂ . S₂

5,18 m / s. 4,2 cm² = v₂ . 7,6 cm ^²

Clearing, vous obtenez cela:

v₂ = 2,86 m / s

b) Appliquer le théorème de Bernoulli entre les deux niveaux, en tenant compte du fait que la densité de l’eau est de 1000 kg / m³ , vous obtenez ça:

v₁ ² ∙ ƿ / 2 + P₁ + ƿ ∙ g ∙ z₁ = v₂² ∙ ƿ / 2 + P₂ + ƿ ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 kg / m³ . (5.18 m / s)² + 152000 + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m³ . (2.86 m / s)² + P₂ + 1000 kg / m³ . 10 m / s² . 0 m

Effacer P₂ vous arrivez à:

P₂ = 257926,4 Pa

Références

1. Le principe de Bernoulli. (n.d.). Dans Wikipedia. Récupéré le 12 mai 2018 sur es.wikipedia.org.
2. Principe de Bernoulli. (n.d.). Dans Wikipedia. Récupéré le 12 mai 2018 de en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Une introduction à la dynamique des fluides. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). Hydrodynamique (6ème éd.). Cambridge University Press.
5. Mott, Robert (1996). Mécanique des fluides appliqués (4ème éd.). Mexique: Pearson Education.