Explication du théorème de Bolzano, applications et exercices résolus

Le Théorème de Bolzano indique que si une fonction est continue en tout point d'un intervalle fermé [a, b] et tient l'image de « a » et « b » (low fonction) sont de signes opposés, alors il y aura au moins un point "C" dans l'intervalle ouvert (a, b), tel que la fonction évaluée dans "c" sera égale à 0.

Ce théorème a été énoncé par le philosophe, théologien et mathématicien Bernard Bolzano en 1850. Ce scientifique, né en République tchèque actuelle, il a été l'un des premiers mathématiciens de l'histoire pour faire une démonstration formelle des propriétés des fonctions continues.

Index

• 1 explication
• 2 démonstration
• 3 À quoi ça sert?
• 4 exercices résolus
  • 4.1 Exercice 1
  • 4.2 Exercice 2
• 5 références

Explication

Le théorème de Bolzano est également connu sous le nom de théorème des valeurs intermédiaires, qui aide à déterminer des valeurs spécifiques, en particulier des zéros, de certaines fonctions réelles d'une variable réelle.

Dans un processus continu qui f donnée (x) est f (a) et f (b) sont reliés par une courbe, où f (a) est au-dessous de l'axe x (négative), f (b) Fonction au-dessus de l'axe des x (positif), ou vice versa, exister graphiquement une coupe dans l'axe x représentant une valeur intermédiaire « c » est compris entre « a » et « b », et la valeur de f (c) sera égal à 0

En analysant graphiquement le théorème de Bolzano, on peut savoir que pour toute fonction f continue définie dans un intervalle [a, b], où f (a)_*f (b) est inférieur à 0, il y aura au moins une racine "c" de cette fonction dans l'intervalle (a, b).

Ce théorème n'établit pas le nombre de points existant dans cet intervalle ouvert, mais indique seulement qu'il y a au moins 1 point.

Démonstration

Pour prouver le théorème de Bolzano, on suppose sans perte de généralité que f (a) <0 et f (b)> 0; de cette manière, il peut y avoir beaucoup de valeurs entre "a" et "b" pour lesquelles f (x) = 0, mais un seul doit être démontré.

Commencez par évaluer f au milieu (a + b) / 2. Si f ((a + b) / 2) = 0 alors le test se termine ici; sinon, alors f ((a + b) / 2) est positif ou négatif.

Une des moitiés de l'intervalle [a, b] est choisie, de sorte que les signes de la fonction évaluée aux extrémités sont différents. Ce nouvel intervalle sera [a1, b1].

Maintenant, si f évalué au milieu de [a1, b1] n'est pas nul, alors la même opération que précédemment est effectuée; c'est-à-dire que la moitié de cet intervalle correspondant à la condition des signes est choisie. Soit ce nouvel intervalle [a2, b2].

Si ce processus se poursuit, deux successions {an} et {bn} seront prises, telles que:

{an} augmente et {bn} diminue:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Si vous calculez la longueur de chaque intervalle [ai, bi], vous devrez:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

… .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Par conséquent, la limite lorsque n tend vers l'infini de (bn-an) est égale à 0.

Utiliser {an} est croissant et borné et {bn} est décroissant et borné, il doit y avoir une valeur "c" telle que:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

La limite de an est "c" et la limite de {bn} est aussi "c". Par conséquent, compte tenu de tout δ> 0, à la condition que "n" de telle sorte que l'intervalle [an, bn] est contenu dans la plage (c-δ, δ + c).

Maintenant, il faut montrer que f (c) = 0.

Si f (c)> 0, alors f est continu, car il est un ε> 0 tel que f est positif à travers l'intervalle (c-ε, ε c +). Toutefois, comme indiqué ci-dessus, une valeur "n" de telle sorte que f change de signe en [an, bn] et aussi [an, bn] est contenu dans (c-ε c + ε), le ce qui est une contradiction.

Si f (c) <0, alors f est continu, car il est un ε> 0 tel que f est négative tout au long de l'intervalle (c-ε, ε c +); mais il existe une valeur "n" telle que f change de signe dans [an, bn]. Il s'avère que [an, bn] est contenu dans (c-ε, c + ε), ce qui est aussi une contradiction.

Par conséquent, f (c) = 0 et c'est ce que nous voulions montrer.

A quoi ça sert?

De l'interprétation graphique, le théorème de Bolzano est utilisé pour trouver des racines ou des zéros dans une fonction continue par bissectrice (approximation), qui est une méthode qui divise toujours les intervalles de recherche supplémentaires en deux.

Ainsi, si la fonction change de signe sur un intervalle, la fonction f est évaluée au point milieu, qui s’exprime comme suit:La racine est trouvée lorsque f (c) = 0. Sinon, le signe de f (c) est analysé pour déterminer s'il est opposé au signe de f (a) ou à celui de f (b).

Prenez ensuite un intervalle [a, c] ou [c, b] où le changement de signe se produit et répétez le processus jusqu'à ce que l'intervalle soit de plus en plus petit, de manière à pouvoir approcher la valeur souhaitée. c'est-à-dire la valeur que la fonction fait 0.

En résumé, pour appliquer le théorème de Bolzano et trouver ainsi les racines, délimiter les zéros d'une fonction ou apporter une solution à une équation, les étapes suivantes sont effectuées:

- Vérifiez si f est une fonction continue dans l'intervalle [a, b].

- Si l'intervalle n'est pas donné, il faut trouver où la fonction est continue.

- Vérifier si les extrêmes de l'intervalle donnent des signes opposés lorsqu'ils sont évalués en f.

- Si les signes opposés ne sont pas obtenus, l'intervalle doit être divisé en deux sous-intervalles en utilisant le point milieu.

- Evaluer la fonction au milieu et vérifier que l’hypothèse de Bolzano est remplie, où f (a) _* f (b) <0.

- Selon le signe (positif ou négatif) de la valeur trouvée, le processus est répété avec un nouveau sous-intervalle jusqu'à ce que l'hypothèse susmentionnée soit remplie.

Exercices résolus

Exercice 1

Détermine si la fonction f (x) = x² - 2, a au moins une solution réelle dans l'intervalle [1,2].

Solution

Nous avons la fonction f (x) = x² - 2. Comme il s'agit d'un polynôme, cela signifie qu'il est continu dans n'importe quel intervalle.

Vous êtes invité à déterminer si vous avez une solution réelle dans l'intervalle [1, 2], il ne vous reste plus qu'à remplacer les extrémités de l'intervalle dans la fonction pour en connaître le signe et savoir si elles sont différentes:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (négatif)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positif)

Par conséquent, signe de f (1) ≠ signe f (2).

Cela garantit qu'il existe au moins un point "c" qui appartient à l'intervalle [1,2], où f (c) = 0.

Dans ce cas, la valeur de "c" peut être facilement calculée comme suit:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Ainsi, √2 ≈ 1.4 appartient à l'intervalle [1,2] et vérifie que f (√2) = 0.

Exercice 2

Prouver que l'équation x⁵ + x + 1 = 0 a au moins une vraie solution.

Solution

Première note que f (x) = x⁵ + x + 1 est une fonction polynomiale, ce qui signifie qu'elle est continue dans tous les nombres réels.

Dans ce cas, aucun intervalle n'est donné, vous devez donc choisir des valeurs intuitives, de préférence proches de 0, pour évaluer la fonction et trouver les changements de signe:

Si vous utilisez l'intervalle [0, 1], vous devez:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Comme il n'y a pas de changement de signe, le processus est répété avec un autre intervalle.

Si vous utilisez l'intervalle [-1, 0], vous devez:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 =  1 > 0.

Dans cet intervalle, il y a changement de signe: signe de f (-1) ≠ signe de f (0), ce qui signifie que la fonction f (x) = x⁵ + x + 1 a au moins une racine réelle "c" dans l'intervalle [-1, 0], telle que f (c) = 0. En d'autres termes, il est vrai que x⁵ + x + 1 = 0 a une solution réelle dans l'intervalle [-1,0].

Références

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants ... Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Mathématiques et esprit. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Analyse mathématique En trois volumes ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Enseignants de l'enseignement secondaire. Volume II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Propriétés de base de l'analyse dans R. Editores, 20 décembre.
6. Piskunov, N. (1980). Calcul différentiel et intégral ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Mathématiques pour l'analyse économique. Felix Varela
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Symétrie continue: d'Euclide à Klein. American Mathematical Soc.