Explication du théorème de Bayes, applications, exercices



Le Théorème de Bayes est une procédure qui permet d'exprimer la probabilité conditionnelle d'un événement aléatoire A donné B, en termes de la distribution de probabilité de l'événement B donné A et de la distribution de probabilité de A.

Ce théorème est très utile car, grâce à lui, nous pouvons relier la probabilité qu'un événement A se produise en sachant que B s'est produit, avec la probabilité que l'inverse se produise, c'est-à-dire que B se produit étant donné que A.

Le théorème de Bayes était une proposition d’argent du révérend Thomas Bayes, un théologien anglais du dix-huitième siècle, également mathématicien. Il est l'auteur de plusieurs ouvrages en théologie, mais il est actuellement connu pour quelques traités mathématiques, parmi lesquels le théorème de Bayes susmentionné est le résultat principal.

Bayes a traité de ce théorème dans un article intitulé "Un essai pour résoudre un problème dans la doctrine des chances", publié en 1763, et sur lequel de grands travaux ont été développés. Études avec des applications dans divers domaines de la connaissance.

Index

  • 1 explication
  • 2 applications du théorème de Bayes
    • 2.1 Exercices résolus
  • 3 références

Explication

Premièrement, pour mieux comprendre ce théorème, certaines notions de base de la théorie des probabilités sont nécessaires, en particulier le théorème de multiplication de la probabilité conditionnelle, qui stipule que

Pour E et A événements arbitraires d'un espace échantillon S.

Et la définition des partitions, qui nous dit que si nous avons un1 , Un2, ..., An événements d'un espace d'échantillon S, ceux-ci formeront une partition de S, si leje ils sont mutuellement exclusifs et leur union est S.

Ayant cela, laissez B être un autre événement. Alors on peut voir B comme

Où le Aje recoupés avec B sont des événements mutuellement exclusifs.

Et par conséquent,

Ensuite, en appliquant le théorème de multiplication

Par contre, la probabilité conditionnelle de Ai donné B est définie par

En remplaçant adéquatement nous devons pour tout i

Applications du théorème de Bayes

Grâce à ce résultat, des groupes de recherche et diverses sociétés ont réussi à améliorer les systèmes basés sur la connaissance.

Par exemple, dans le cadre de l'étude des maladies, le théorème de Bayes peut aider à discerner la probabilité de trouver une maladie dans un groupe de personnes ayant une caractéristique donnée, en prenant comme données les taux globaux de la maladie et la prédominance desdites caractéristiques dans des personnes en bonne santé et malades.

D'autre part, dans le monde des hautes technologies, a influencé les grandes entreprises qui ont développé, grâce à ce résultat, un logiciel "Based on Knowledge".

Comme exemple quotidien, nous avons l'assistant Microsoft Office. Le théorème de Bayes aide le logiciel à évaluer les problèmes présentés par l'utilisateur et à déterminer les conseils à donner et ainsi être en mesure d'offrir un meilleur service selon les habitudes de l'utilisateur.

Il convient de noter que cette formule a été ignorée jusqu'à une époque récente, principalement en raison du fait que lorsque ce résultat a été mis au point il y a 200 ans, leur utilisation était limitée. Cependant, à notre époque, grâce aux grandes avancées technologiques, les scientifiques ont réussi à mettre ce résultat en pratique.

Exercices résolus

Exercice 1

Une compagnie de téléphonie mobile dispose de deux machines A et B. 54% des téléphones portables produits sont fabriqués par la machine A et le reste par la machine B. Tous les téléphones portables produits ne sont pas en bon état.

La proportion de téléphones cellulaires défectueux fabriqués par A est de 0,2 et par B est de 0,5. Quelle est la probabilité qu'un téléphone portable de cette usine soit défectueux? Quelle est la probabilité que, sachant qu'un téléphone portable est défectueux, provienne de la machine A?

Solution

Ici, vous avez une expérience qui se fait en deux parties; dans la première partie les événements se produisent:

A: téléphone portable fabriqué par la machine A.

B: téléphone portable fabriqué par la machine B.

Comme la machine A produit 54% des téléphones portables et que le reste est produit par la machine B, la machine B produit 46% des téléphones portables. Les probabilités de ces événements sont données, à savoir:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Les événements de la deuxième partie de l'expérience sont les suivants:

D: téléphone portable défectueux

E: téléphone portable non défectueux.

Comme il est dit dans la déclaration, les probabilités de ces événements dépendent du résultat obtenu dans la première partie:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

En utilisant ces valeurs, vous pouvez également déterminer les probabilités des compléments de ces événements, à savoir:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

et

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Maintenant, l'événement D peut être écrit comme suit:

Ces événements sont mutuellement exclusifs.

En utilisant le théorème de multiplication pour la probabilité conditionnelle, il en résulte:

A qui répond la première question.

Maintenant, il suffit de calculer P (A | D), pour lequel s'applique le théorème de Bayes:

Grâce au théorème de Bayes, on peut dire que la probabilité qu'un téléphone portable ait été fabriqué par la machine A, sachant que le téléphone cellulaire est défectueux, est de 0,319.

Exercice 2

Trois boîtes contiennent des boules blanches et noires. La composition de chacun d'eux est la suivante: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

L'une des cases est choisie au hasard et une balle aléatoire est tirée, ce qui s'avère être blanc. Quelle est la case la plus susceptible d'avoir été choisie?

Solution

Grâce à U1, U2 et U3, nous représenterons également la case choisie.

Ces événements constituent une partition de S et on vérifie que P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 puisque le choix de la case est aléatoire.

Si B = {la bille extraite est blanche}, on aura P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Ce que nous voulons obtenir, c'est la probabilité que la balle ait été sortie de la boîte, sachant que la balle était blanche, c'est-à-dire P (Ui | B), et voir laquelle des trois valeurs était la plus élevée pour savoir la boîte a été plus probablement l'extraction de la boule blanche.

Appliquer le théorème de Bayes au premier des cases:

Et pour les deux autres:

P (U2 | B) = 2/6 et P (U3 | B) = 1/6.

Ensuite, la première des cases est celle qui a la plus grande probabilité d'avoir été choisie pour l'extraction de la bille.

Références

  1. Kai Lai Chung Théorie élémentaire de la proabilité avec processus stochastiques. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen, les mathématiques discrètes et leurs applications. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Applications probabilistes et statistiques. S.A. ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problèmes résolus de mathématiques discrètes. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Théorie et problèmes de probabilité. McGRAW-HILL.