Propriétés d'égalité

Le propriétés d'égalité ils se réfèrent à la relation entre deux objets mathématiques, des nombres ou des variables. Il est désigné par le symbole "=", qui passe toujours entre ces deux objets. Cette expression est utilisée pour établir que deux objets mathématiques représentent le même objet; en d'autres termes, deux objets sont la même chose.

Il y a des cas où il est trivial d'utiliser l'égalité. Par exemple, il est clair que 2 = 2. Cependant, en ce qui concerne les variables, il n’est plus trivial et a des utilisations spécifiques. Par exemple, si vous avez y = x et d'autre part x = 7, vous pouvez conclure que y = 7 également.

L'exemple précédent est basé sur l'une des propriétés d'égalité, comme on le verra bientôt. Ces propriétés sont essentielles pour résoudre des équations (égalités impliquant des variables), qui constituent une partie très importante des mathématiques.

Index

• 1 Quelles sont les propriétés de l'égalité?
  • 1.1 Propriété réfléchissante
  • 1.2 Propriété symétrique
  • 1.3 Propriété transitive
  • 1.4 Propriété uniforme
  • 1.5 Propriété d'annulation
  • 1.6 Propriété de remplacement
  • 1.7 Propriété de puissance dans une égalité
  • 1.8 Propriété de la racine dans une égalité
• 2 références

Quelles sont les propriétés de l'égalité?

Propriété réfléchissante

Dans le cas de l'égalité, la propriété de réflexion indique que chaque nombre est égal à lui-même et est exprimé par b = b pour tout nombre réel b.

Dans le cas particulier de l'égalité, cette propriété semble être évidente, mais dans un autre type de relation entre les nombres, ce n'est pas le cas. En d'autres termes, toutes les relations de nombres réels ne remplissent pas cette propriété. Par exemple, un tel cas de la relation "inférieur à" (<); aucun nombre n'est inférieur à lui-même.

Propriété symétrique

La propriété symétrique pour l'égalité dit que si a = b, alors b = a. Quel que soit l'ordre utilisé dans les variables, il sera préservé par la relation d'égalité.

Une certaine analogie de cette propriété peut être observée avec la propriété commutative dans le cas de l'addition. Par exemple, à cause de cette propriété, cela équivaut à écrire y = 4 ou 4 = y.

Propriété transitive

La propriété transitive dans l'égalité indique que si a = b et b = c, alors a = c. Par exemple, 2 + 7 = 9 et 9 = 6 + 3; par conséquent, par la propriété transitive, nous avons 2 + 7 = 6 + 3.

Une application simple est la suivante: supposons que Julian ait 14 ans et que Mario ait le même âge que Rosa. Si Rosa a le même âge que Julian, quel âge a Mario?

Derrière ce scénario, la propriété transitive est utilisée deux fois. Mathématiquement, il est interprété comme ceci: être "l'âge de Mario", "l'âge de Rosa et l'âge de Julien". On sait que b = c et que c = 14.

Pour la propriété transitive, nous avons que b = 14; c'est-à-dire que Rosa a 14 ans. Puisque a = b et b = 14, en utilisant à nouveau la propriété transitive, nous avons a = 14; c'est-à-dire que l'âge de Mario a également 14 ans.

Propriété uniforme

La propriété uniforme est que, si les deux côtés d'une égalité sont ajoutés ou multipliés par la même quantité, l'égalité est préservée. Par exemple, si 2 = 2, alors 2 + 3 = 2 + 3, ce qui est clair, alors 5 = 5. Cette propriété est plus utile pour résoudre une équation.

Par exemple, supposons que vous demandiez de résoudre l’équation x-2 = 1. Il convient de se rappeler que la résolution d'une équation consiste à déterminer explicitement la variable (ou les variables) impliquée, en fonction d'un nombre spécifique ou d'une variable préalablement spécifiée.

Revenant à l'équation x-2 = 1, il faut trouver explicitement combien x vaut. Pour cela, la variable doit être effacée.

On a enseigné à tort que dans ce cas, le numéro 2 étant négatif, il passe à l’autre côté de l’égalité avec un signe positif. Mais ce n'est pas correct de le dire ainsi.

Fondamentalement, ce qui est fait est d'appliquer la propriété uniforme, comme nous le verrons ci-dessous. L'idée est de supprimer "x"; c'est-à-dire le laisser seul d'un côté de l'équation. Par convention, il est généralement laissé sur le côté gauche.

Pour cela, le nombre que vous souhaitez "éliminer" est -2. La façon de le faire serait d'ajouter 2, puisque -2 + 2 = 0 et x + 0 = 0. Pour ce faire, sans modifier l'égalité, la même opération doit être appliquée de l'autre côté.

Cela permet à la propriété uniforme d'être réalisée: comme x-2 = 1, si le nombre 2 est ajouté des deux côtés de l'égalité, la propriété uniforme indique que le même n'est pas modifié. On a alors x-2 + 2 = 1 + 2, ce qui revient à dire que x = 3. Avec cela, l'équation serait résolue.

De même, si vous souhaitez résoudre l’équation (1/5) y-1 = 9, vous pouvez procéder comme suit avec la propriété uniforme:

Plus généralement, les déclarations suivantes peuvent être faites:

- Si a-b = c-b, alors a = c.

- Si x-b = y, alors x = y + b.

- Si (1 / a) z = b, alors z = a ×

- Si (1 / c) a = (1 / c) b, alors a = b.

Propriété d'annulation

La propriété d'annulation est un cas particulier de propriété uniforme, en particulier en considérant le cas de soustraction et de division (qui, au final, correspondent également à l'addition et à la multiplication). Cette propriété traite ce cas séparément.

Par exemple, si 7 + 2 = 9, alors 7 = 9-2. Ou si 2y = 6, alors y = 3 (en divisant par deux des deux côtés).

De manière analogue au cas précédent, les déclarations suivantes peuvent être établies par le biais de la propriété d'annulation:

- Si a + b = c + b, alors a = c.

- Si x + b = y, alors x = y-b.

- Si az = b, alors z = b / a.

- Si ca = cb, alors a = b.

Propriété de remplacement

Si nous connaissons la valeur d'un objet mathématique, la propriété de substitution indique que cette valeur peut être substituée dans toute équation ou expression. Par exemple, si b = 5 et a = bx, substituant alors la valeur de "b" dans la seconde égalité, on a a = 5x.

Un autre exemple est le suivant: si "m" divise "n" et aussi "n" divise "m", alors vous devez avoir m = n.

En effet, dire que "m" divise "n" (ou, de manière équivalente, que "m" est un diviseur de "n") signifie que la division m ÷ n est exacte; c'est-à-dire qu'en divisant "m" par "n", vous obtenez un entier, pas un nombre décimal. Ceci peut être exprimé en disant qu'il existe un entier "k" tel que m = k × n.

Puisque "n" divise aussi "m", alors il existe un entier "p" tel que n = p × m. Pour la propriété de substitution, on a n = p × k × n, et pour cela il y a deux possibilités: n = 0, auquel cas on aurait l'identité 0 = 0; ou p × k = 1, où l'identité n = n devrait être.

Supposons que "n" est non nul. Alors nécessairement p × k = 1; par conséquent, p = 1 et k = 1. En reprenant la propriété de substitution, en substituant k = 1 dans l'égalité m = k × n (ou, de manière équivalente, p = 1 dans n = p × m), on obtient finalement que m = n, ce qui a été voulu.

Propriété du pouvoir dans une égalité

Comme précédemment, on a vu que si une opération est effectuée en tant que somme, multiplication, soustraction ou division dans les deux termes d'une égalité, elle est préservée, de la même manière que d'autres opérations ne modifiant pas une égalité peuvent être appliquées.

La clé est de toujours le faire des deux côtés de l'égalité et de s'assurer auparavant que l'opération peut être effectuée. Tel est le cas de l'autonomisation; c'est-à-dire que si les deux côtés d'une équation ont le même pouvoir, ils ont toujours une égalité.

Par exemple, comme 3 = 3, alors 3²=3² (9 = 9). En général, étant donné un entier "n", si x = y, alors xⁿ= yⁿ.

Propriété de la racine dans une égalité

Ceci est un cas particulier de potentialisation et s'applique lorsque la puissance est un nombre rationnel non entier, tel que ½, qui représente la racine carrée. Cette propriété indique que si la même racine est appliquée des deux côtés d'une égalité (chaque fois que possible), l'égalité est préservée.

Contrairement au cas précédent, vous devez faire attention à la parité de la racine qui va être appliquée, car il est bien connu que la racine paire d'un nombre négatif n'est pas bien définie.

Dans le cas où le radical est pair, il n'y a pas de problème. Par exemple, si x³= -8, même si c'est une égalité, vous ne pouvez pas appliquer une racine carrée des deux côtés, par exemple. Cependant, si vous pouvez appliquer une racine cubique (ce qui est encore plus pratique si vous voulez connaître explicitement la valeur de x), vous obtiendrez que x = -2.

Références

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2. Jiménez, J., Rofríguez, M. et Estrada, R. (2005). Mathématiques 1 SEP. Seuil
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5. Segovia, B. R. (2012). Activités mathématiques et jeux avec Miguel et Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. et Preciado, M. (1985). Cours de mathématiques 2ème. Progress Editorial.