Origine de la logique mathématique, quelles études, quels types

Le logique mathématique ou la logique symbolique est un langage mathématique qui comprend les outils nécessaires au moyen desquels le raisonnement mathématique peut être affirmé ou nié.

Il est bien connu qu'en mathématiques, il n'y a pas d'ambiguïtés. Étant donné un argument mathématique, ceci est valable ou simplement non. Cela ne peut pas être faux et vrai en même temps.

Un aspect particulier des mathématiques est qu’il possède un langage formel et rigoureux permettant de déterminer la validité d’un raisonnement. Qu'est-ce qui rend certains raisonnements ou toute preuve mathématique irréfutables? C'est la logique mathématique.

Ainsi, la logique est la discipline des mathématiques qui est chargée d'étudier le raisonnement et les démonstrations mathématiques, et fournit les outils nécessaires pour pouvoir déduire une conclusion correcte à partir de déclarations ou de propositions antérieures.

Pour ce faire, il utilise des axiomes et d'autres aspects mathématiques qui seront développés ultérieurement.

Index

• 1 Origine et histoire
  • 1.1 Aristote
• 2 Qu'est-ce que la logique mathématique étudie?
  • 2.1 propositions
  • 2.2 Tables de vérité
• 3 types de logique mathématique
  • 3.1 Zones
• 4 références

Origine et histoire

Les dates exactes concernant de nombreux aspects de la logique mathématique sont incertaines. Cependant, la plupart des bibliographies sur le sujet en retracent l'origine à la Grèce antique.

Aristote

Le début du traitement rigoureux de la logique est attribuée en partie à Aristote, qui a écrit une série d'ouvrages sur la logique, qui ont ensuite été compilées et développées par différents philosophes et scientifiques jusqu'au Moyen Age. Cela pourrait être considéré comme "l'ancienne logique".

Alors, où est connu comme l'âge contemporain, Leibniz, tirée par un profond désir d'établir un langage universel à la raison mathématique, et d'autres mathématiciens tels que Gottlob Frege et Giuseppe Peano, notamment influencé le développement de la logique mathématique avec de grandes contributions parmi eux, les axiomes de Peano, qui formulent les propriétés indispensables des nombres naturels.

Ont également été influents à ce mathématiciens de temps George Boole et Georg Cantor, avec des contributions importantes pour définir les tables de la théorie et de la vérité, qui a souligné, entre autres, l'algèbre de Boole (par George Boole) et l'axiome du choix (par George Cantor)

Auguste De Morgan également avec les lois connues Morgan, contemplant négations, conjonctions, disjonctions et entre conditionals propositions, clé du développement de la logique symbolique et les célèbres diagrammes John Venn Venn.

Au 20ème siècle, entre 1910 et 1913 environ, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead se distinguent par la publication de Principia mathematica, un ensemble de livres qui recueille, développe et postule une série d’axiomes et de résultats logiques.

Qu'est-ce que la logique mathématique étudie?

Propositions

La logique mathématique commence par l'étude des propositions. Une proposition est une affirmation qui, sans aucune ambiguïté, peut être dite si elle est vraie ou non. Voici des exemples de propositions:

• 2+4=6.
• 5²=35.
• En 1930, il y eut un tremblement de terre en Europe.

Le premier est une proposition vraie et le second une proposition fausse. Le troisième, bien qu'il soit possible que la personne qui lit ne sait pas s'il est vrai ou à droite, il est une déclaration qui peut être vérifié pour déterminer si oui ou non réellement passé.

Les exemples suivants sont des expressions qui ne sont pas des propositions:

• Elle est blonde
• 2x = 6
• Allons jouer!
• Tu aimes le cinéma?

Dans la première proposition, il n’est pas précisé qui est "elle", donc rien ne peut être affirmé. Dans la seconde proposition, il n'a pas été précisé ce que "x" représente. Si au contraire, vous dites que 2x = 6 pour un certain nombre naturel x, dans ce cas, il correspondrait à une proposition, en fait vrai, puisque pour x = 3 est satisfaite.

Les deux dernières déclarations ne correspondent pas à une proposition, car il n'y a aucun moyen de les nier ou de les affirmer.

Deux propositions ou plus peuvent être combinées (ou connectées) en utilisant les connecteurs (ou connecteurs) de connexion connus. Ceux-ci sont:

• Déni: "Il ne pleut pas."
• Disjonction: "Luisa a acheté un sac blanc ou gris".
• Conjonction: "4²= 16 et 2 × 5 = 10 ".
• Conditionnel: "S'il pleut, alors je ne vais pas au gymnase cet après-midi."
• Biconditional: "Je vais à la gym cet après-midi si, et seulement si, il ne pleut pas".

Une proposition qui ne possède aucun des connecteurs précédents est appelée proposition simple (ou atomique). Par exemple, "2 est inférieur à 4", est une proposition simple. Les propositions qui ont du connectif sont appelées propositions composées, comme par exemple "1 + 3 = 4 et 4 est un nombre pair".

Les déclarations faites au moyen de propositions sont généralement longues, il est donc fastidieux de les écrire toujours comme nous l’avons vu jusqu’à présent.Par conséquent, un langage symbolique est utilisé. Les propositions sont généralement représentées par des lettres majuscules telles que P, Q, R, S, etc. Et le connectif symbolique comme suit:

De sorte que

Le réciproque d'une proposition conditionnelle

est la proposition

Et la contre-reproches (ou contrapositive) d'une proposition

est la proposition

Tables de vérité

Un autre concept important en logique est celui des tables de vérité. Les valeurs de vérité d'une proposition sont les deux possibilités que vous avez pour une proposition: vrai (qui sera noté V et vous direz que sa valeur de vérité est V) ou faux (qui sera noté F et sa valeur sera dite) c'est vraiment F).

La valeur de vérité d'une proposition composite dépend exclusivement des valeurs de vérité des propositions simples qui y figurent.

Pour travailler plus généralement, nous ne considérerons pas les propositions spécifiques, mais les variables propositionnelles p, q, r, s, etc., qui représentera des propositions.

Avec ces variables et les connecteurs logiques, les formules propositionnelles bien connues sont formées de la même manière que les propositions composées sont construites.

Si chacune des variables apparaissant dans une formule propositionnelle est remplacée par une proposition, une proposition composite est obtenue.

Vous trouverez ci-dessous les tables de vérité pour les connecteurs logiques:

Il existe des formules propositionnelles qui ne reçoivent que la valeur V dans leur table de vérité, c’est-à-dire que la dernière colonne de leur table de vérité n’a que la valeur V. Ce type de formule est appelé tautologie. Par exemple:

Ce qui suit est la table de vérité de la formule

On dit qu'une formule α implique logiquement une autre formule β, si α est vraie chaque fois que β est vraie. C'est-à-dire que dans la table de vérité de α et β, les lignes où α a un V, β ont aussi un V. Seules les lignes dans lesquelles α ont la valeur V sont intéressantes. La notation pour l'implication logique est la suivante :

Le tableau suivant résume les propriétés de l'implication logique:

On dit que deux formules propositionnelles sont logiquement équivalentes si leurs tables de vérité sont identiques. La notation suivante est utilisée pour exprimer l'équivalence logique:

Les tableaux suivants résument les propriétés de l'équivalence logique:

Types de logique mathématique

Il existe différents types de logique, en particulier si l'on tient compte de la logique pragmatique ou informelle qui pointe, entre autres, la philosophie.

En ce qui concerne les mathématiques, les types de logique peuvent être résumés comme suit:

• Logique formelle ou logique aristotélicienne (logique ancienne).
• La logique propositionnelle: est responsable de l’étude de tout ce qui concerne la validité des arguments et des propositions en utilisant un langage formel et aussi symbolique.
• Logique symbolique: centrée sur l'étude des ensembles et de leurs propriétés, également avec un langage formel et symbolique, et profondément liée à la logique propositionnelle.
• La logique combinatoire: l'une des plus récentes, implique des résultats pouvant être développés par des algorithmes.
• Programmation logique: utilisée dans les différents packages et langages de programmation.

Domaines

Parmi les domaines qui utilisent la logique mathématique de manière indispensable dans le développement de leurs raisonnements et arguments, ils insistent sur la philosophie, la théorie des ensembles, la théorie des nombres, les mathématiques algébriques constructives et les langages de programmation.

Références

1. Aylwin, C. U. (2011). Logique, Ensembles et Numéros. Mérida - Venezuela: Conseil des publications, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. et Soto, A. (1998). Introduction à la théorie des nombres. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Cours de base en théorie des nombres. Université du Nord.
4. Cofré, A. et Tapia, L. (1995). Comment développer le raisonnement logique mathématique Editorial universitaire
5. Zaragoza, A. C. (s.f.). Théorie des nombres Livres de vision éditoriale.