Notions de base sur l'algèbre vectorielle, magnitudes, vecteurs

Le Algèbre de vecteur est une branche des mathématiques chargée d'étudier les systèmes d'équations linéaires, les vecteurs, les matrices, les espaces vectoriels et leurs transformations linéaires. Il est lié à des domaines tels que l'ingénierie, la résolution d'équations différentielles, l'analyse fonctionnelle, la recherche opérationnelle, l'infographie, entre autres.

Un autre domaine qui a adopté l'algèbre linéaire est physique, car à travers ce qui a été en mesure de développer l'étude des phénomènes physiques, les décrire en utilisant des vecteurs. Cela a permis une meilleure compréhension de l'univers.

Index

• 1 fondamentaux
  • 1.1 Géométriquement
  • 1.2 Analytiquement
  • 1.3 Axiomatiquement
• 2 magnitudes
  • 2.1 Ampleur scalaire
  • 2.2 magnitude vectorielle
• 3 Que sont les vecteurs?
  • 3.1 Module
  • 3.2 Adresse
  • 3.3 sens
• 4 Classification des vecteurs
  • 4.1 Vecteur fixe
  • 4.2 Vecteur libre
  • 4.3 Vecteur coulissant
• 5 propriétés des vecteurs
  • 5.1 vecteurs equipolentes
  • 5.2 Vecteurs équivalents
  • 5.3 Egalité des vecteurs
  • 5.4 Vecteurs opposés
  • 5,5 vecteur unitaire
  • 5.6 vecteur nul
• 6 composants d'un vecteur
  • 6.1 Exemples
• 7 opérations avec des vecteurs
  • 7.1 Ajouter et soustraire des vecteurs
  • 7.2 Multiplication de vecteurs
• 8 références

Les bases

algèbre vecteur origine de l'étude des escouades (extension des nombres réels) 1, i, j, k, ainsi que la géométrie cartésienne promu par Gibbs et Heaviside, qui a réalisé que les vecteurs servent comme outil de représenter différents phénomènes physiques.

L’algèbre vectorielle est étudiée à travers trois fondements:

Géométriquement

Les vecteurs sont représentés par des lignes ayant une orientation et les opérations telles que l'addition, la soustraction et la multiplication par des nombres réels sont définies par des méthodes géométriques.

Analytiquement

La description des vecteurs et de leurs opérations se fait avec des nombres, appelés composants. Ce type de description est le résultat d'une représentation géométrique car un système de coordonnées est utilisé.

Axiomatiquement

Une description des vecteurs est faite, indépendamment du système de coordonnées ou de tout type de représentation géométrique.

L'étude des figures dans l'espace se fait par leur représentation dans un système de référence, qui peut être dans une ou plusieurs dimensions. Parmi les principaux systèmes sont:

- Système unidimensionnel, qui est une ligne où un point (O) représente l'origine et un autre point (P) détermine l'échelle (longueur) et sa direction:

- Système de coordonnées rectangulaires (bidimensionnel), composé de deux lignes perpendiculaires appelées axe x et axe y, qui passent par un point d’origine (O); de cette façon, le plan est divisé en quatre régions appelées quadrants. Dans ce cas, un point (P) dans le plan est donné par les distances qui existent entre les axes et P.

- Système de coordonnées polaires (bidimensionnel). Dans ce cas, le système est composé d'un point O (origine) appelé pôle et d'un rayon d'origine O appelé axe polaire. Dans ce cas, le point P de l'avion, en se référant à la perche et l'axe polaire, est donnée par l'angle (ɵ), qui est formée par la distance entre l'origine et le point P.

- Système tridimensionnel rectangulaire, formé de trois lignes perpendiculaires (x, y, z) ayant pour origine un point O dans l’espace. Trois plans de coordonnées sont formés: xy, xz et yz; l'espace sera divisé en huit régions appelées octants. La référence d'un point P de l'espace est donnée par les distances qui existent entre les plans et P.

Magnitudes

Une grandeur est une quantité physique qui peut être comptée ou mesurée par une valeur numérique, comme dans le cas de certains phénomènes physiques; Cependant, il est souvent nécessaire de pouvoir décrire ces phénomènes avec des facteurs autres que les nombres. C'est pourquoi les grandeurs sont classées en deux types:

Magnitude scalaire

Ce sont ces quantités qui sont définies et représentées numériquement; c'est-à-dire par un module avec une unité de mesure. Par exemple:

a) Temps: 5 secondes.

b) Masse: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Température: 40 ºC.

Magnitude de vecteur

Ce sont ces quantités qui sont définies et représentées par un module avec une unité, ainsi que par un sens et une direction. Par exemple:

a) Vitesse: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Accélération: 13 m / s²; S 45º E.

c) Force: 280 N, 120º.

d) Poids: -40 ĵ kg-f.

Les grandeurs vectorielles sont représentées graphiquement par des vecteurs.

Quels sont les vecteurs?

Les vecteurs sont des représentations graphiques d'une grandeur vectorielle; c'est-à-dire que ce sont des segments de ligne dont le point final est la pointe d'une flèche.

Celles-ci sont déterminées par la longueur de son module ou de son segment, sa signification étant indiquée par la pointe de sa flèche et sa direction en fonction de la ligne à laquelle elle appartient. L'origine d'un vecteur est également appelée point d'application.

Les éléments d'un vecteur sont les suivants:

Module

C'est la distance entre l'origine et la fin d'un vecteur, représentée par un nombre réel avec une unité. Par exemple:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adresse

C'est la mesure de l'angle entre l'axe des x (à partir du positif) et le vecteur, ainsi que les points cardinaux (nord, sud, est et ouest).

Sens

Il est donné par la pointe de flèche située à la fin du vecteur, indiquant où il se dirige.

Classification des vecteurs

Généralement, les vecteurs sont classés comme suit:

Vecteur fixe

C'est celui dont le point d'application (origine) est fixe; c'est-à-dire qu'il reste lié à un point de l'espace, raison pour laquelle il ne peut pas être déplacé dans celui-ci.

Vecteur libre

Il peut se déplacer librement dans l'espace car son origine se déplace à n'importe quel point sans changer de module, de direction ou de direction.

Vecteur coulissant

C'est celui qui peut déplacer son origine sur son axe d'action sans changer son module, son sens ou sa direction.

Propriétés des vecteurs

Les principales propriétés des vecteurs sont les suivantes:

Vecteurs Equipolentes

Ce sont ces vecteurs libres qui ont le même module, la même direction (ou sont parallèles) et qui détectent un vecteur glissant ou un vecteur fixe.

Vecteurs équivalents

Cela se produit lorsque deux vecteurs ont la même direction (ou sont parallèles), le même sens, et malgré des modules et des points d'application différents, ils provoquent des effets égaux.

Égalité des vecteurs

Ils ont le même module, la même direction et le même sens, même si leurs points de départ sont différents, ce qui permet à un vecteur parallèle de se déplacer sans l’affecter.

Vecteurs opposés

Ce sont ceux qui ont le même module et la même direction, mais leur sens est opposé.

Unité de vecteur

C'est celui dans lequel le module est égal à l'unité (1). Ceci est obtenu en divisant le vecteur par son module et sert à déterminer la direction et le sens d’un vecteur, soit dans le plan, soit dans l’espace, en utilisant les vecteurs normalisés unitisés ou de base, qui sont:

Vecteur nul

C'est un dont le module est égal à 0; c'est-à-dire que leur point d'origine et leur extrême coïncident au même point.

Composants d'un vecteur

Les composants d'un vecteur sont les valeurs des projections du vecteur sur les axes du système de référence; En fonction de la décomposition du vecteur, qui peut être en deux ou trois axes, deux ou trois composantes seront obtenues, respectivement.

Les composantes d'un vecteur sont des nombres réels, qui peuvent être positifs, négatifs ou même nuls (0).

Ainsi, si nous avons un vecteur Â, provenant d'un système de coordonnées rectangulaire dans le plan xy (deux dimensions), la projection sur l'axe des x est Āx et la projection sur l'axe des y est Āy. Ainsi, le vecteur sera exprimé comme la somme de ses vecteurs composants.

Des exemples

Premier exemple

Nous avons un vecteur qui part de l'origine et les coordonnées de ses extrémités sont données. Ainsi, le vecteur a = (à_x; Un_et) = (4; 5) cm.

Si le vecteur agit à l'origine d'un système de coordonnées triangulaires à trois dimensions (dans l'espace) x, y, z, à un autre point (P), les projections sur ses axes seront Āx, Āy et Āz; ainsi, le vecteur sera exprimé comme la somme de ses trois vecteurs composants.

Deuxième exemple

Nous avons un vecteur qui part de l'origine et les coordonnées de ses extrémités sont données. Ainsi, le vecteur  = (A_x; Un_et; Un_z) = (4; 6; -3) cm.

Les vecteurs ayant leurs coordonnées rectangulaires peuvent être exprimés en termes de leurs vecteurs de base. Pour cela, seule chaque coordonnée doit être multipliée par son vecteur unitaire respectif, de telle manière que pour le plan et l’espace elles soient les suivantes:

Pour l'avion: A = A_xi + a_etj.

Pour l'espace: Â = A_xi + a_etj + a_zk.

Opérations avec vecteurs

Il existe de nombreuses grandeurs qui ont un module, un sens et une direction, comme l’accélération, la vitesse, le déplacement, la force, entre autres.

Celles-ci sont appliquées dans divers domaines scientifiques et, pour les appliquer, il est parfois nécessaire d'effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des vecteurs et des scalaires.

Addition et soustraction de vecteurs

L'addition et la soustraction de vecteurs sont considérées comme une seule opération algébrique car la soustraction peut être écrite sous la forme d'une somme; Par exemple, la soustraction des vecteurs  et Ē peut être exprimée comme suit:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Il existe différentes méthodes pour effectuer des additions et des soustractions de vecteurs: elles peuvent être graphiques ou analytiques.

Méthodes graphiques

Utilisé lorsqu'un vecteur a un module, sens et direction. Pour ce faire, des lignes sont dessinées qui forment une figure qui aidera plus tard à déterminer la résultante. Parmi les plus connus, les suivants se distinguent:

Méthode du parallélogramme

Pour faire l'addition ou la soustraction de deux vecteurs, on choisit un point commun sur l'axe des coordonnées, qui représentera le point d'origine des vecteurs, en conservant son module, sa direction et sa direction.

Ensuite, les lignes sont dessinées parallèlement aux vecteurs pour former un parallélogramme. Le vecteur résultant est la diagonale qui part du point d'origine des deux vecteurs jusqu'au sommet du parallélogramme:

Méthode triangle

Dans cette méthode, les vecteurs sont placés les uns après les autres en conservant leurs modules, directions et directions.Le vecteur résultant sera l'union de l'origine du premier vecteur avec la fin du deuxième vecteur:

Méthodes analytiques

Vous pouvez ajouter ou soustraire deux vecteurs ou plus via une méthode géométrique ou vectorielle:

Méthode géométrique

Lorsque deux vecteurs forment un triangle ou un parallélogramme, le module et la direction du vecteur résultant peuvent être déterminés en utilisant les lois du sinus et du cosinus. Ainsi, le module du vecteur résultant, appliquant la loi du cosinus et par la méthode des triangles, est donné par:

Dans cette formule, β est l'angle opposé au côté R, et celui-ci est égal à 180º - Ɵ.

En revanche, par la méthode du parallélogramme, le module vectoriel résultant est:

La direction du vecteur résultant est donnée par l'angle (α) qui forme la résultante avec l'un des vecteurs.

Par la loi du sinus, l'addition ou la soustraction de vecteurs peut aussi se faire par la méthode du triangle ou du parallélogramme, sachant que dans chaque triangle les côtés sont proportionnels aux seins des angles:

Méthode de vecteur

Cela peut se faire de deux manières: en fonction de leurs coordonnées rectangulaires ou de leurs vecteurs de base.

Cela peut être fait en transférant les vecteurs qui doivent être ajoutés ou soustraits à l'origine des coordonnées, puis toutes les projections dans chacun des axes pour le plan (x, y) ou l'espace (x, et Z); enfin, ses composants sont ajoutés algébriquement. Donc, pour l'avion c'est:

Le module du vecteur résultant est:

Alors que pour l'espace c'est:

Le module du vecteur résultant est:

Lors de l'exécution de sommes vectorielles, plusieurs propriétés sont appliquées, à savoir:

- Propriété associative: la résultante ne change pas en ajoutant d'abord deux vecteurs, puis en ajoutant un troisième vecteur.

- Propriété commutative: l'ordre des vecteurs ne modifie pas la résultante.

- Propriété distributive vectorielle: si un scalaire est multiplié par la somme de deux vecteurs, il est égal à la multiplication du scalaire pour chaque vecteur.

- Propriété distributive scalaire: si un vecteur est multiplié par la somme de deux scalaires, il est égal à la multiplication du vecteur pour chaque scalaire.

Multiplication de vecteurs

La multiplication ou le produit des vecteurs pourrait se faire sous forme d'addition ou de soustraction, mais ce faisant, il perd sa signification physique et ne se trouve presque jamais dans les applications. Pour cette raison, les produits les plus couramment utilisés sont les produits scalaires et vectoriels.

Produit scalaire

Il est également connu sous le nom de produit scalaire de deux vecteurs. Lorsque les modules de deux vecteurs sont multipliés par le cosinus de l'angle mineur formé entre eux, un scalaire est obtenu. Afin d'exprimer un produit scalaire entre deux vecteurs, un point est placé entre eux, ce qui peut être défini comme suit:

La valeur de l'angle qui existe entre les deux vecteurs dépendra du fait qu'ils soient parallèles ou perpendiculaires; Donc, vous devez:

- Si les vecteurs sont parallèles et ont le même sens, cosinus 0º = 1.

- Si les vecteurs sont parallèles et ont des sens opposés, cosinus 180º = -1.

- Si les vecteurs sont perpendiculaires, cosinus 90º = 0.

Cet angle peut également être calculé en sachant que:

Le produit scalaire a les propriétés suivantes:

- Propriété commutative: l'ordre des vecteurs ne modifie pas le scalaire.

- Propriété distributive: si un scalaire est multiplié par la somme de deux vecteurs, il est égal à la multiplication du scalaire pour chaque vecteur.

Produit vectoriel

La multiplication vectorielle, ou produit croisé de deux vecteurs A et B, donnera un nouveau vecteur C et s'exprime en utilisant un croisement entre les vecteurs:

Le nouveau vecteur aura ses propres caractéristiques. De cette manière:

- La direction: ce nouveau vecteur sera perpendiculaire au plan, qui est déterminé par les vecteurs d'origine.

- Le sens: ceci est déterminé avec la règle de la main droite, où le vecteur A est tourné vers le B en pointant le sens de la rotation avec les doigts, et avec le pouce le sens du vecteur est marqué.

- Le module: est déterminé par la multiplication des modules des vecteurs AxB, par le sinus du plus petit angle existant entre ces vecteurs. Il est exprimé:

La valeur de l'angle existant entre les deux vecteurs dépendra du fait qu'ils soient parallèles ou perpendiculaires. Ensuite, il est possible d'affirmer ce qui suit:

- Si les vecteurs sont parallèles et ont le même sens, sin 0º = 0.

- Si les vecteurs sont parallèles et ont des sens opposés, sinus 180º = 0.

- Si les vecteurs sont perpendiculaires, sinus 90º = 1.

Lorsqu'un produit vectoriel est exprimé en termes de ses vecteurs de base, il doit:

Le produit scalaire a les propriétés suivantes:

- Ce n'est pas commutatif: l'ordre des vecteurs modifie le scalaire.

- Propriété distributive: si un scalaire est multiplié par la somme de deux vecteurs, il est égal à la multiplication du scalaire pour chaque vecteur.

Références

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