Lois de Morgan

Le lyeux de Morgan ce sont des règles d'inférence utilisées dans la logique propositionnelle, qui établissent ce qui résulte du déni d'une disjonction et d'une conjonction de propositions ou de variables propositionnelles. Ces lois ont été définies par le mathématicien Augustus De Morgan.

Les lois de Morgan représentent un outil très utile pour démontrer la validité d’un raisonnement mathématique. Plus tard, ils ont été généralisés dans le concept de décors du mathématicien George Boole.

Cette généralisation faite par Boole est totalement équivalente aux lois initiales de Morgan, mais elle est développée spécifiquement pour les ensembles plutôt que pour les propositions. Cette généralisation est également connue sous le nom de lois de Morgan.

Index

• 1 Examen de la logique propositionnelle
  • 1.1 sophisme
  • 1.2 Propositions
• 2 lois de Morgan
  • 2.1 Démonstration
• 3 jeux
  • 3.1 Union, intersection et compléments d'ensembles
• 4 lois de Morgan pour les sets
• 5 références

Révision de la logique propositionnelle

Avant de regarder quelles sont les lois de Morgan et comment elles sont utilisées, il convient de se rappeler certaines notions de base de la logique propositionnelle. (Pour plus de détails voir l'article sur la logique propositionnelle).

Dans le domaine de la logique mathématique (ou propositionnelle), une inférence est une conclusion émise par un ensemble de prémisses ou d’hypothèses. Cette conclusion, associée aux prémisses susmentionnées, donne lieu à ce que l'on appelle le raisonnement mathématique.

Ce raisonnement doit pouvoir être démontré ou nié; c'est-à-dire que toutes les inférences ou conclusions d'un raisonnement mathématique ne sont pas valables.

Erreur

Une fausse inférence émise par certaines hypothèses supposées être vraies est connue sous le nom d'erreur. Les erreurs ont la particularité d'être des arguments qui semblent corrects, mais mathématiquement ils ne le sont pas.

La logique propositionnelle est chargée de développer et de fournir avec précision des méthodes grâce auxquelles on peut, sans ambiguïté, valider ou réfuter un raisonnement mathématique; c'est-à-dire déduire une conclusion valide des locaux. Ces méthodes sont connues sous le nom de règles d'inférence, dont font partie les lois de Morgan.

Propositions

Les éléments essentiels de la logique propositionnelle sont des propositions. Les propositions sont des déclarations sur lesquelles on peut dire si elles sont valides ou non, mais qu’elles ne peuvent pas être vraies ou fausses en même temps. Il ne devrait y avoir aucune ambiguïté dans cette affaire.

Tout comme les nombres peuvent être combinés par les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, les propositions peuvent être exploitées au moyen des connecteurs (ou connecteurs) logiques connus: négation (¬, "non"), disjonction (V , "O"), conjonction (Ʌ, "et"), conditionnel (→, "si ..., alors ...") et biconditionnel (↔, "oui, et seulement si").

Pour travailler plus généralement, au lieu de considérer des propositions spécifiques, nous considérons des variables propositionnelles qui représentent des propositions quelconques et sont généralement désignées par des lettres minuscules p, q, r, s, etc.

Une formule propositionnelle est une combinaison de variables propositionnelles via une partie du connectif logique. En d'autres termes, il s'agit d'une composition de variables propositionnelles. Ils sont généralement désignés par des lettres grecques.

On dit qu'une formule propositionnelle implique logiquement une autre lorsque celle-ci est vraie chaque fois que la première est vraie. Ceci est noté par:

Lorsque l'implication logique entre deux formules propositionnelles est réciproque - c'est-à-dire lorsque l'implication précédente est valide également dans le sens inverse - les formules sont dites logiquement équivalentes, et il est noté

L'équivalence logique est une sorte d'égalité entre les formules propositionnelles et permet de remplacer l'une par l'autre lorsque cela est nécessaire.

Lois de Morgan

Les lois de Morgan consistent en deux équivalences logiques entre deux formes propositionnelles, à savoir:

Ces lois permettent de séparer la négation d'une disjonction ou d'une conjonction, comme négation des variables impliquées.

La première se lit comme suit: la négation d'une disjonction est égale à la conjonction des négations. Et la seconde se lit comme ceci: la négation d'une conjonction est la disjonction des négations.

Autrement dit, nier la disjonction de deux variables propositionnelles équivaut à la conjonction des négations des deux variables. De même, nier la conjonction de deux variables propositionnelles équivaut à la disjonction des négations des deux variables.

Comme mentionné ci-dessus, le remplacement de l'équivalence logique permet de démontrer des résultats significatifs, ainsi que les autres règles d'inférence existantes. Avec cela, vous pouvez simplifier de nombreuses formules propositionnelles, de sorte qu'elles soient plus utiles pour travailler.

Voici un exemple d'une démonstration mathématique en utilisant les règles d'inférence, entre les lois Morgan. Plus précisément, il est montré que la formule:

est équivalent à:

Ce dernier est plus simple à comprendre et à développer.

Démonstration

Il convient de mentionner que la validité des lois de Morgan peut être démontrée mathématiquement. Une façon consiste à comparer vos tables de vérité.

Ensembles

Les mêmes règles d'inférence et les notions de logique appliquées aux propositions peuvent également être développées en considérant des ensembles. C'est ce qu'on appelle l'algèbre booléenne, d'après le mathématicien George Boole.

Pour différencier les cas, il faut changer la notation et transférer à des ensembles, toutes les notions déjà vues de la logique propositionnelle.

Un ensemble est une collection d'objets. Les ensembles sont désignés par les lettres majuscules A, B, C, X, ... et les éléments d’un ensemble sont désignés par des lettres minuscules a, b, c, x, etc. Lorsqu'un élément a appartient à un ensemble X, il est noté par:

Quand elle n'appartient pas à X, la notation est:

La manière de représenter les ensembles consiste à placer leurs éléments à l'intérieur des clés. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels est représenté par:

Les ensembles peuvent également être représentés sans écrire une liste explicite de leurs éléments. Ils peuvent être exprimés sous la forme {:}. Les deux points sont lus "tels que". Une variable représentant les éléments de l'ensemble est placée à gauche des deux points et la propriété ou la condition qu'ils satisfont est placée à droite. C'est:

Par exemple, l'ensemble des entiers supérieurs à -4 peut être exprimé comme suit:

Ou de manière équivalente et plus abrégée, comme:

De même, les expressions suivantes représentent les ensembles de nombres pairs et impairs, respectivement:

Union, intersection et compléments d'ensembles

Ensuite, nous verrons les analogues du connectif logique dans le cas des ensembles, qui font partie des opérations de base entre les ensembles.

Union et intersection

L'union et l'intersection des ensembles sont définies respectivement de la manière suivante:

Par exemple, considérons les ensembles:

Ensuite, vous devez:

Complément

Le complément d'un ensemble est formé par les éléments n'appartenant pas à cet ensemble (du même type que celui qui représente l'original). Le complément d'un ensemble A est noté par:

Par exemple, dans les nombres naturels, le complément de l’ensemble des nombres pairs est celui des nombres impairs, et inversement.

Pour déterminer le complément d'un ensemble, il doit être clair dès le départ l'ensemble universel ou principal des éléments considérés. Par exemple, il n'est pas égal de considérer le complément d'un ensemble sur les nombres naturels que sur les rationnels.

Le tableau suivant montre la relation ou l'analogie qui existe entre les opérations sur des ensembles précédemment définis et les connectives de la logique propositionnelle:

Les lois de Morgan pour les sets

Enfin, les lois de Morgan sur les décors sont les suivantes:

En mots: le complément d'une union est l'intersection des compléments, et le complément d'une intersection est l'union des compléments.

Une preuve mathématique de la première égalité serait la suivante:

La démonstration du second est analogue.

Références

1. Almaguer, G. (2002). Mathématiques 1. Editorial Limusa.
2. Aylwin, C. U. (2011). Logique, Ensembles et Numéros. Mérida - Venezuela: Conseil des publications, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. et Soto, A. (1998). Introduction à la théorie des nombres. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Cours de base en théorie des nombres. Université du Nord.
5. Cofré, A. et Tapia, L. (1995). Comment développer le raisonnement logique mathématique Editorial universitaire
6. Guevara, M. H. (s.f.). Théorie des nombres EUNED.
7. Zaragoza, A. C. (s.f.). Théorie des nombres Livres de vision éditoriale.