Lois des exposants (avec exemples et exercices résolus)

Le lois des exposants sont ceux qui s'appliquent à ce nombre qui indique combien de fois un nombre de base doit être multiplié par lui-même. Les exposants sont également appelés pouvoirs. La potentialisation est une opération mathématique formée par une base (a), l'exposant (m) et la puissance (b), résultat de l'opération.

Sont généralement utilisés Exponents lorsque de très grandes quantités sont utilisées, car ceux-ci ne sont que des abréviations représentent la multiplication de ce nombre un certain nombre de fois. Les exposants peuvent être à la fois positifs et négatifs.

Index

• 1 Explication des lois des exposants
  • 1.1 Première loi: puissance d’exposant égale à 1
  • 1.2 Deuxième loi: puissance d’exposant égale à 0
  • 1.3 Troisième loi: exposant négatif
  • 1.4 Quatrième loi: multiplication des pouvoirs à base égale
  • 1.5 Cinquième loi: répartition des compétences sur un pied d'égalité
  • 1.6 Sixième loi: multiplication des pouvoirs avec une base différente
  • 1.7 Septième loi: répartition des compétences sur une base différente
  • 1.8 Huitième loi: pouvoir d'un pouvoir
  • 1.9 Neuvième loi: exposant fractionnaire
• 2 exercices résolus
  • 2.1 Exercice 1
  • 2.2 Exercice 2
• 3 références

Explication des lois des exposants

Comme indiqué plus haut, les exposants sont une abréviation représentant la multiplication des nombres eux-mêmes plusieurs fois, où l'exposant ne porte que sur le nombre de gauche. Par exemple:

2³ = 2*2*2 = 8

Dans ce numéro de cas 2 est la base de la puissance, qui sera multipliée 3 fois, comme indiqué par l'exposant, située dans le coin supérieur droit de la base. Il y a différentes manières de lire l'expression: 2 élevé à 3 ou 2 élevé au cube.

Les exposants indiquent aussi le nombre de fois où ils peuvent être divisés, et pour différencier cet exposant opération de multiplication prend le signe moins (-) devant lui-même (négative), ce qui signifie que l'exposant est le dénominateur fraction. Par exemple:

2^{- 4} = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Cela ne devrait pas être confondu avec le cas où la base est négative, car elle dépendra de l'exposant est impair ou même pour déterminer si la puissance sera positif ou négatif. Donc, vous devez:

- Si l'exposant est pair, le pouvoir sera positif. Par exemple:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Si l'exposant est impair, le pouvoir sera négatif. Par exemple:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Il y a un cas particulier dans lequel si l'exposant est égal à 0, la puissance est égale à 1. Il est également possible que la base soit égale à 0; dans ce cas, en fonction de l'exposition, le pouvoir sera indéterminé ou non.

Pour effectuer des opérations mathématiques avec les exposants, il est nécessaire de suivre plusieurs règles ou règles facilitant la recherche de la solution pour ces opérations.

Première loi: puissance exposant égale à 1

Lorsque l'exposant est 1, le résultat sera la même valeur de la base: a¹ = a

Des exemples

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Deuxième loi: puissance exposant égale à 0

Lorsque l'exposant est 0, si la base est différente de zéro, le résultat sera:⁰ = 1.

Des exemples

1⁰ = 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

Troisième loi: exposant négatif

Comme l’exposé est négatif, le résultat sera une fraction, où le pouvoir sera le dénominateur. Par exemple, si m est positif, alors un^-m= 1 / a^m.

Des exemples

- 3^-1 = 1/ 3.

- 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

Quatrième loi: multiplication des pouvoirs à base égale

Pour multiplier les puissances où les bases sont égales et différentes de 0, la base est maintenue et les exposants sont ajoutés: a^m _* unⁿ = a^{m + n}.    

Des exemples

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹

Cinquième loi: division des pouvoirs à base égale

Pour diviser les puissances dont les bases sont égales et différentes de 0, la base est maintenue et les exposants sont soustraits comme suit: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Des exemples

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Sixième loi: multiplication des pouvoirs avec une base différente

Dans cette loi, nous avons le contraire de ce qui est exprimé dans le quatrième; c'est-à-dire que s'il y a des bases différentes avec des exposants égaux, les bases sont multipliées et l'exposant est maintenu: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Des exemples

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹ _* 9¹¹ = (45*9)^{11 =} 405¹¹.

Une autre façon de représenter cette loi est lorsqu'une multiplication est élevée à un pouvoir. Ainsi, l’exposant appartiendra à chacun des termes suivants:_*b)^m= a^m_* b^m.

Des exemples

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Septième loi: division des pouvoirs avec des bases différentes

S'il y a des bases différentes mais avec des exposants égaux, les bases sont divisées et l'exposant est maintenu: a^m / b^m = (a / b)^m.

Des exemples

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

De même, lorsqu'une division est élevée à un pouvoir, l'exposant appartiendra à chacun des termes suivants: b) ^m = a^m / b^m.

Des exemples

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Il y a un cas où l'exposant est négatif. Donc, pour être positif, la valeur du numérateur est inversée avec celle du dénominateur, de la manière suivante:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = ( 5 / 4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Huitième loi: pouvoir d'un pouvoir

Lorsque cela a une puissance élevée à un autre -es de puissance, deux exposants à la fois, la base est maintenue et multiplier les exposants: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Des exemples

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Neuvième loi: exposant fractionnaire

Si le pouvoir a une fraction comme exposant, il est résolu en le transformant en une nième racine, où le numérateur reste un exposant et le dénominateur représente l’index de la racine:

Exemple

Exercices résolus

Exercice 1

Calculez les opérations entre les puissances ayant des bases différentes:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

Solution

En appliquant les règles des exposants, dans le numérateur, les bases sont multipliées et l’exposant est maintenu, comme ceci:

2⁴ _* 4⁴ / 8²=(2_*4)⁴ / 8²  =  8⁴ / 8²

Maintenant, comme nous avons les mêmes bases mais avec des exposants différents, la base est maintenue et les exposants sont soustraits:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Exercice 2

Calculez les opérations entre les grandes puissances à une autre puissance:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

Solution

En appliquant les lois, vous devez:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

=3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

=3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

=3⁶ _* 2⁶

=(3_*2)⁶

=6⁶

=46.656

Références

1. Aponte, G. (1998). Principes fondamentaux des mathématiques de base. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Mathématiques appliquées à la vie quotidienne.
3. Jiménez, J. R. (2009). Mathématiques 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algèbre et trigonométrie
5. Rees, P. K. (1986). Reverte