Méthode d'interpolation linéaire, exercices résolus

Le interpolation linéaire est une méthode qui provient de l'interpolation générale de Newton et permet de déterminer par approximation une valeur inconnue comprise entre deux nombres donnés; c'est-à-dire qu'il y a une valeur intermédiaire. Il est également appliqué aux fonctions approximatives, où les valeurs f_a) et f_b) ils sont connus et vous voulez connaître l'intermédiaire de f_(x).

Il existe différents types d'interpolation, tels que linéaires, quadratiques, cubiques et de plus grands degrés, le plus simple étant l'approximation linéaire. Le prix à payer par interpolation linéaire est que le résultat ne sera pas aussi précis qu'avec les approximations par les fonctions des grades supérieurs.

Index

• 1 définition
• 2 méthode
• 3 exercices résolus
  • 3.1 Exercice 1
  • 3.2 Exercice 2
• 4 références

Définition

L'interpolation linéaire est un processus qui permet de déduire une valeur entre deux valeurs bien définies, qui peuvent être dans une table ou dans un graphique linéaire.

Par exemple, si vous savez que 3 litres de lait valent 4 dollars et que 5 litres valent 7 dollars, mais que vous voulez savoir quelle est la valeur de 4 litres de lait, interpolez pour déterminer cette valeur intermédiaire.

Méthode

Pour estimer une valeur intermédiaire d'une fonction, la fonction f_(x) au moyen d'une ligne droite r_(x), ce qui signifie que la fonction varie linéairement avec "x" pour un étirement "x = a" et "x = b"; c'est-à-dire pour une valeur "x" dans l'intervalle (x₀x₁) et (et₀et₁), la valeur de "y" est donnée par la ligne entre les points et est exprimée par la relation suivante:

(et - et₀) ÷ (x - x₀) = (et₁ - et₀) ÷ (x₁ - x₀)

Pour qu'une interpolation soit linéaire, il faut que le polynôme d'interpolation soit de degré un (n = 1), de sorte qu'il s'adapte aux valeurs de x₀ et x_1.

L'interpolation linéaire est basée sur la similarité des triangles, de sorte que, dérivant géométriquement de l'expression précédente, nous pouvons obtenir la valeur de "y", qui représente la valeur inconnue pour "x".

Une extrapolation est celle où l'on suppose que l'intervalle à interpoler est x₀ ˂ x ˂ x_1, si c'est différent de cette gamme. Partant de l'équation de la ligne, qui est: y = ax + b, où "a" est un coefficient angulaire et "b" est un coefficient linéaire, comme représenté sur la figure, deux triangles avec une hypoténuse droite sont formés. Par similitude de triangles, vous devez:

De cette façon, vous devez:

a = tan Ɵ = (côté opposé₁ ÷ jambe adjacente₁) = (côté opposé₂ ÷ jambe adjacente₂)

Exprimé différemment, c'est:

(et - et₀) ÷ (x - x₀) = (et₁ - et₀) ÷ (x₁ - x₀)

En effaçant "et" des expressions, vous avez:

(et - et₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (et₁ - et₀)

(et - et₀) = (et₁ - et₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

On obtient ainsi l’équation générale de l’interpolation linéaire:

y = y_{0 +} (et₁ - et₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

En général, l'interpolation linéaire donne une petite erreur sur la valeur réelle de la fonction vraie, bien que l'erreur soit minime par rapport à si vous choisissez intuitivement un nombre proche de celui que vous voulez trouver.

Cette erreur se produit lorsque vous essayez d'approcher la valeur d'une courbe avec une ligne droite; pour ces cas, la taille de l'intervalle doit être réduite pour rendre l'approche plus précise.

Pour de meilleurs résultats concernant l'approche, il est conseillé d'utiliser des fonctions de grade 2, 3 ou même supérieur pour effectuer l'interpolation. Pour ces cas, le théorème de Taylor est un outil très utile.

Exercices résolus

Exercice 1

Le nombre de bactéries par unité de volume existant dans une incubation après x heures est présenté dans le tableau suivant. Vous voulez savoir quel est le volume de bactéries pour le temps de 3,5 heures.

Solution

Le tableau de référence n'établit pas une valeur indiquant la quantité de bactéries pendant une durée de 3,5 heures, mais des valeurs supérieures et inférieures correspondant à une durée de 3 et 4 heures, respectivement. De ce façon:

x₀ = 3 et₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 et₁ = 135

Maintenant, l'équation mathématique est appliquée pour trouver la valeur interpolée, qui est la suivante:

y = y_{0 +} (et₁ - et₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Ensuite, les valeurs correspondantes sont remplacées:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113

Ainsi, on obtient que pour un temps de 3,5 heures, le nombre de bactéries est de 113, ce qui représente un niveau intermédiaire entre le volume de bactéries existant à 3 et 4 heures.

Exercice 2

Luis a une fabrique de crème glacée et il veut faire une étude pour déterminer le revenu qu’il avait en août grâce aux dépenses effectuées. Le responsable de l'entreprise crée un graphique qui exprime cette relation, mais Luis veut savoir:

Quels sont les revenus pour août, si une dépense de 55 000 $ a été faite?

Solution

Un graphique est donné avec les valeurs des revenus et des dépenses. Luis veut savoir quel est le revenu d’août si l’usine avait une dépense de 55 000 dollars.Cette valeur n'est pas reflétée directement dans le graphique, mais les valeurs supérieures et inférieures sont disponibles.

Tout d'abord, un tableau est créé pour relier facilement les valeurs:

Maintenant, la formule d'interpolation est utilisée pour déterminer la valeur de y

y = y_{0 +} (et₁ - et₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Ensuite, les valeurs correspondantes sont remplacées:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56 000 + (22 000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

y = 56 000 + 12 936

y = 68 936 $.

Si une dépense de 55 000 $ était faite en août, le revenu était de 68 936 $.

Références

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Rubriques de la théorie des groupes géométriques. University of Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolation linéaire ", Encyclopédie des mathématiques.
4. , J. M. (1998). Éléments de méthodes numériques pour l'ingénierie. UASLP.
5. E. (2002). Une chronologie de l'interpolation: l'astronomie ancienne à un signal moderne et traitement d'image. Actes de l'IEEE.
6. numérique, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.