Fractions partielles Cas et exemples



Le fractions partielles ce sont des fractions formées par des polynômes, dans lesquels le dénominateur peut être un polynôme linéaire ou quadratique et, de plus, peut être élevé à un certain pouvoir. Parfois, quand nous fonctions rationnelles est utile de réécrire la fonction comme une somme de fractions partielles et des fractions simples.

Cela est dû au fait que, de cette manière, nous pouvons mieux manipuler ces fonctions, en particulier dans les cas où il est nécessaire d’intégrer cette application. Une fonction rationnelle est simplement le quotient entre deux polynômes et peut être correcte ou inappropriée.

Si le degré du polynôme du numérateur est inférieur au dénominateur, on l'appelle sa propre fonction rationnelle; sinon, il s'agit d'une fonction rationnelle inappropriée.

Index

  • 1 définition
  • 2 cas
    • 2.1 Cas 1
    • 2.2 Cas 2
    • 2.3 Cas 3
    • 2.4 Cas 4
  • 3 applications
    • 3.1 Calcul complet
    • 3.2 Loi de l'action de masse
    • 3.3 Equations différentielles: équation logistique
  • 4 références

Définition

Lorsque nous avons une fonction rationnelle incorrecte, on peut diviser le numérateur par le polynôme polynôme dénominateur et ainsi réécrire la fraction p (x) / q (x) suivant l'algorithme de division en tant que t (x) + s (x) / q (x), où t (x) est un polynôme et s (x) / q (x) est une fonction rationnelle propre.

Une fraction partielle est une fonction propre des polynômes, dont le dénominateur est de la forme (ax + b)n o (hache2+ bx + c)n, si le polynôme hache2 + bx + c n'a pas de vraies racines et n est un nombre naturel.

Dans le but de réécrire une fonction rationnelle en fractions partielles, la première chose à faire est de prendre en compte le dénominateur q (x) en tant que produit de facteurs linéaires et / ou quadratique. Une fois cela fait, les fractions partielles sont déterminées, ce qui dépend de la nature desdits facteurs.

Les cas

Nous considérons plusieurs cas séparément.

Cas 1

Les facteurs de q (x) sont tous linéaires et aucun n'est répété. C'est-à-dire:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Là, aucun facteur linéaire n'est identique à un autre. Lorsque ce cas se produit, nous allons écrire:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Où un1, Un2, ..., As ce sont les constantes que vous voulez trouver.

Exemple

Nous souhaitons décomposer la fonction rationnelle en fractions simples:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2x)

Nous procédons à la factorisation du dénominateur, à savoir:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Alors:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

En appliquant un plus petit multiple commun, vous pouvez obtenir cela:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Nous voulons obtenir les valeurs des constantes A, B et C, qui peuvent être trouvées en remplaçant les racines qui annulent chacun des termes. En remplaçant 0 par x on a:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

En remplaçant - 1 pour x nous avons:

- 1 - 1 = (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2

En remplaçant - 2 pour x nous avons:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

De cette manière, les valeurs A = -1/2, B = 2 et C = -3/2 sont obtenues.

Il existe une autre méthode pour obtenir les valeurs de A, B et C. Si sur le côté droit de l'équation x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x nous combinons les termes, nous avons:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Comme il s'agit d'une égalité de polynômes, nous avons que les coefficients du côté gauche doivent être égaux à ceux du côté droit. Cela se traduit par le système d'équations suivant:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

En résolvant ce système d'équations, nous obtenons les résultats A = -1/2, B = 2 et C = -3/2.

Enfin, en remplaçant les valeurs obtenues, nous devons:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2 x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Cas 2

Les facteurs de q (x) sont tous linéaires et certains sont répétés. Supposons que (ax + b) soit un facteur répété "s" fois; alors, à ce facteur correspond la somme des fractions partielles "s".

Uns/ (ax + b)s + Uns-1/ (ax + b)s-1 + ... + A1/ (ax + b).

Où le As, Uns-1, ..., A1 ce sont les constantes à déterminer. Avec l'exemple suivant, nous montrerons comment déterminer ces constantes.

Exemple

Décomposer en fractions partielles:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Nous écrivons la fonction rationnelle comme une somme de fractions partielles comme suit:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Alors:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

En remplaçant 2 par x, il faut:

7 = 4C, c'est-à-dire C = 7/4.

En remplaçant 0 par x on a:

- 1 = -8A ou A = 1/8.

En substituant ces valeurs dans l'équation précédente et en développement, nous devons:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 + Dx3 - 2Dx2 + Ex2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 + (3/2 - 8B) x - 1.

En utilisant des coefficients, on obtient le système d'équations suivant:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Résoudre le système, nous avons:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Pour cette raison, nous devons:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Cas 3

Les facteurs de q (x) sont linéaires quadratiques, sans qu'aucun facteur quadratique ne soit répété. Pour ce cas le facteur quadratique (hache2 + bx + c) correspond à la fraction partielle (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), où les constantes A et B sont celles à déterminer.

L'exemple suivant montre comment procéder dans ce cas

Exemple

Décomposer en fractions simples a (x + 1) / (x3 - 1).

Tout d'abord, nous procédons à la factorisation du dénominateur, ce qui nous donne comme résultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Nous pouvons voir que (x2 + x + 1) est un polynôme quadratique irréductible; c'est-à-dire qu'il n'a pas de vraies racines. Sa décomposition en fractions partielles sera la suivante:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

De cela, nous obtenons l'équation suivante:

x + 1 = (A + B) x2 + (A - B + C) x + (A - C)

En utilisant l'égalité des polynômes, nous obtenons le système suivant:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

A partir de ce système, nous avons A = 2/3, B = - 2/3 et C = 1/3. En remplaçant, nous devons:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1)

Cas 4

Enfin, le cas 4 est un cas où les facteurs de q (x) sont linéaires et quadratiques, où certains des facteurs quadratiques linéaires sont répétés.

Dans ce cas, si (hache2 + bx + c) est un facteur quadratique répété "s" fois, puis la fraction partielle correspondant au facteur (ax)2 + bx + c) sera:

(A1x + B) / (hache2 + bx + c) + ... + (As-1x + bs-1) / (hache)2 + bx + c)s-1 + (Asx + bs) / (hache)2 + bx + c)s

Où le As, Uns-1, ..., A et Bs, Bs-1, ..., B sont les constantes que vous souhaitez déterminer.

Exemple

Nous voulons décomposer la fonction rationnelle suivante en fractions partielles:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Comme x2 - 4x + 5 est un facteur quadratique irréductible, nous avons que sa décomposition en fractions partielles est donnée par:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Simplifier et développer, nous avons:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

De ce qui précède, nous avons le système d'équations suivant:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Lors de la résolution du système, nous devons:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 et E = - 3/5.

En remplaçant les valeurs obtenues, nous avons:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Applications

Calcul complet

Les fractions partielles sont principalement utilisées pour l'étude du calcul intégral. Nous verrons ensuite quelques exemples sur la façon de réaliser des intégrales à l'aide de fractions partielles.

Exemple 1

Nous voulons calculer l'intégrale de:

On peut voir que le dénominateur q (x) = (t + 2)2(t + 1) est constitué de facteurs linéaires où l'un de ces éléments se répète; c'est pourquoi nous sommes dans le cas 2.

Nous devons:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Nous réécrivons l'équation et nous avons:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Si t = - 1, il faut:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Si t = - 2, cela nous donne:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Alors, si t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

En substituant les valeurs de A et C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

De ce qui précède, nous avons que B = - 1.

Nous réécrivons l'intégrale comme:

Nous procédons à la résoudre par la méthode de substitution:

Cela se traduit par:

Exemple 2

Résoudre l'intégrale suivante:

Dans ce cas, on peut prendre en compte q (x) = x2 - 4 comme q (x) = (x - 2) (x + 2). Nous sommes clairement dans le cas 1. Par conséquent:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Il peut également être exprimé comme:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Si x = - 2, nous avons:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Et si x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Ainsi, nous devons résoudre l'intégrale donnée est équivalente à résoudre:

Cela nous donne comme résultat:

Exemple 3

Résoudre l'intégrale:

Nous avons q (x) = 9x4 + x2 , que l'on peut prendre en compte q (x) = x2(9x2 + 1).

A cette occasion, nous avons un facteur linéaire répété et un facteur quadratique; c'est-à-dire que nous sommes dans le cas 3.

Nous devons:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

En regroupant et en utilisant l'égalité des polynômes, nous avons:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

De ce système d'équations, nous devons:

D = - 9 et C = 0

De cette manière, nous avons:

En résolvant ce qui précède, nous avons:

Loi de l'action de masse

Une application intéressante des fractions partielles appliquées au calcul intégral se trouve en chimie, plus précisément dans la loi de l'action de masse.

Supposons que nous ayons deux substances, A et B, qui forment une substance C, de sorte que la dérivée de la quantité de C par rapport au temps soit proportionnelle au produit des quantités de A et de B à un moment donné.

Nous pouvons exprimer la loi de l'action de masse comme suit:

Dans cette expression, α est la quantité initiale de grammes correspondant à A et β la quantité initiale de grammes correspondant à B.

En outre, r et s représentent respectivement le nombre de grammes de A et de B qui se combinent pour former r + s grammes de C. Pour sa part, x représente le nombre de grammes de substance C au temps t, et K est le Proportionnalité constante. L'équation ci-dessus peut être réécrite comme suit:

Faire le changement suivant:

Nous avons que l'équation se transforme en:

De cette expression on peut obtenir:

Si oui a actions b, des fractions partielles peuvent être utilisées pour l'intégration.

Exemple

Prenons par exemple une substance C qui résulte de la combinaison d'une substance A avec un B, de telle sorte que la loi des masses soit remplie où les valeurs de a et b sont respectivement de 8 et 6. Donnez une équation qui nous donne la valeur de grammes de C en fonction du temps.

En substituant les valeurs dans la loi de masse donnée, nous avons:

En séparant les variables, nous avons:

Ici, 1 / (8 - x) (6 - x) peut être écrit comme une somme de fractions partielles, comme suit:

Ainsi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Si nous substituons x pour 6, nous avons que B = 1/2; et en substituant x pour 8, nous avons A = - 1/2.

Intégrant par fractions partielles nous avons:

Cela nous donne comme résultat:

Equations différentielles: équation logistique

Une autre application qui peut être donnée aux fractions partielles est l’équation différentielle logistique. Dans les modèles simples, nous constatons que le taux de croissance d'une population est proportionnel à sa taille; c'est-à-dire:

Ce cas est un idéal et est considéré comme réaliste jusqu’à ce que les ressources disponibles dans un système soient insuffisantes pour maintenir la population.

Dans ces situations, il est plus raisonnable de penser qu'il existe une capacité maximale, que nous appellerons L, que le système peut supporter, et que le taux de croissance est proportionnel à la taille de la population multipliée par la taille disponible. Cet argument conduit à l'équation différentielle suivante:

Cette expression s'appelle l'équation différentielle logistique. C'est une équation différentielle séparable qui peut être résolue avec la méthode d'intégration par fractions partielles.

Exemple

Un exemple serait de considérer une population qui croît selon l'équation différentielle logistique suivante: y '= 0,0004y (1000 - y), dont les données initiales sont 400. Nous voulons connaître la taille de la population à l'instant t = 2, où t est mesuré dans les années

Si nous écrivons a et 'avec la notation Leibniz comme une fonction qui dépend de t, nous devons:

L'intégrale du côté gauche peut être résolue en utilisant la méthode d'intégration par fractions partielles:

Cette dernière égalité peut être réécrite comme suit:

- En substituant y = 0 on a que A est égal à 1/1000.

- En substituant y = 1000, on a que B est égal à 1/1000.

Avec ces valeurs, l'intégrale reste comme suit:

La solution est la suivante:

En utilisant les données initiales:

Lors de la compensation et nous sommes partis:

Ensuite, nous avons cela à t = 2:

En conclusion, après deux ans, la taille de la population est d'environ 597,37.

Références

  1. A, R. A. (2012). Mathématiques 1. Université des Andes. Conseil des publications.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 intégrales résolues. Université expérimentale nationale de Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). LE CALCUL avec la géométrie analytique. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D. et Rigdon, S. E. (2007). Calcul Mexique: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Calcul intégral Hypoténuse.