Méthodes de factorisation et exemples

Le factorisation est une méthode par laquelle un polynôme s'exprime sous forme de multiplication de facteurs, qui peuvent être des nombres, des lettres ou les deux. Pour factoriser les facteurs communs aux termes sont regroupés, et de cette manière le polynôme est décomposé en plusieurs polynômes.

Ainsi, lorsque les facteurs se multiplient, le résultat est le polynôme original. La factorisation est une méthode très utile lorsque vous avez des expressions algébriques, car elle peut être convertie en une multiplication de plusieurs termes simples; par exemple: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b)

Il existe des cas où un polynôme ne peut pas être pris en compte car il n’ya pas de facteur commun entre ses termes; ainsi, ces expressions algébriques ne sont divisibles qu'entre elles et par 1. Par exemple: x + y + z.

Dans une expression algébrique, le facteur commun est le plus grand diviseur commun des termes qui le composent.

Index

• 1 méthodes d'affacturage
  • 1.1 Factoring par facteur commun
  • 1.2 Exemple 1
  • 1.3 Exemple 2
  • 1.4 Affacturage en groupant
  • 1.5 Exemple 1
  • 1.6 Affacturage par inspection
  • 1.7 Exemple 1
  • 1.8 Exemple 2
  • 1.9 Affacturage avec des produits remarquables
  • 1.10 Exemple 1
  • 1.11 Exemple 2
  • 1.12 Exemple 3
  • 1.13 Prise en compte de la règle de Ruffini
  • 1.14 Exemple 1
• 2 références

Méthodes d'affacturage

Il existe plusieurs méthodes d’affacturage, qui sont appliquées selon les cas. Certains d'entre eux sont les suivants:

Factoring par facteur commun

Dans cette méthode, les facteurs communs sont identifiés; c'est-à-dire ceux qui sont répétés dans les termes de l'expression. Ensuite, la propriété distributive est appliquée, le plus grand diviseur commun est supprimé et la factorisation est terminée.

En d'autres termes, le facteur d'expression commun est identifié et chaque terme est divisé entre lui; les termes résultants seront multipliés par le plus grand facteur commun pour exprimer la factorisation.

Exemple 1

Facteur (b²x) + (b²y).

Solution

Il y a d'abord le facteur commun à chaque terme, qui dans ce cas est b², puis divisez les termes entre le facteur commun comme suit:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

La factorisation est exprimée en multipliant le facteur commun par les termes résultants:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y)

Exemple 2

Factoriser (2a)²b³) + (3ab²).

Solution

Dans ce cas, nous avons deux facteurs qui sont répétés dans chaque terme qui sont "a" et "b", et qui sont élevés à une puissance. Pour les prendre en compte, d'abord les deux termes sont décomposés dans leur forme longue:

2_*un_*un_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

On peut observer que le facteur "a" est répété une seule fois au second terme et que le facteur "b" est répété deux fois dans celui-ci; ainsi, au premier terme, il n'y a que 2, un facteur "a" et un "b"; tandis que dans le deuxième terme, il n'en reste que 3.

Par conséquent, nous écrivons les temps que "a" et "b" sont répétés et multipliés par les facteurs qui restent de chaque terme, comme indiqué dans l'image:

Factorisation en regroupant

Comme dans tous les cas le diviseur commun maximal d'un polynôme n'est pas clairement exprimé, il est nécessaire de faire d'autres étapes pour pouvoir réécrire le polynôme et donc le facteur.

L'une de ces étapes consiste à regrouper les termes du polynôme en plusieurs groupes, puis à utiliser la méthode du facteur commun.

Exemple 1

Facteur ac + bc + ad + bd.

Solution

Il y a 4 facteurs où deux sont communs: dans le premier terme c'est "c" et dans le second il est "d". De cette manière, les deux termes sont regroupés et séparés:

(ac + bc) + (ad + bd).

Maintenant, il est possible d'appliquer la méthode du facteur commun, en divisant chaque terme par son facteur commun, puis en multipliant ce facteur commun par les termes résultants, comme ceci:

(ac + cb) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Vous obtenez maintenant un binôme commun aux deux termes. Le factoriser est multiplié par les facteurs restants; De cette façon, vous devez:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b)

Factorisation par inspection

Cette méthode est utilisée pour prendre en compte les polynômes quadratiques, également appelés trinômes. c'est-à-dire ceux qui sont structurés comme des haches² ± bx + c, où la valeur de "a" est différente de 1. Cette méthode est également utilisée lorsque le trinôme a la forme x² ± bx + c et la valeur de "a" = 1.

Exemple 1

Facteur x² + 5x + 6

Solution

Vous avez un trinôme quadratique de la forme x² ± bx + c. Pour la prendre en compte en premier, vous devez trouver deux nombres qui, multipliés, donnent comme résultat la valeur de "c" (c'est-à-dire 6) et que sa somme est égale au coefficient "b", qui est 5. Ces nombres sont 2 et 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

De cette façon, l'expression est simplifiée comme ceci:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Chaque terme est factorisé:

- pour (x² + 2x) le terme commun est extrait: x (x + 2)

- pour (3x + 6) = 3 (x + 2)

Ainsi, l'expression reste:

x (x +2) + 3 (x +2).

Comme vous avez un binôme commun, réduire l'expression est multiplié par les termes restants et vous devez:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)

Exemple 2

Facteur 4a² + 12a + 9 = 0.

Solution

Vous avez un trinôme quadratique de la forme hache² ± bx + c et pour factoriser il multiplie toute l'expression par le coefficient de x²; dans ce cas, 4.

4a² + 12a +9 = 0

4 a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² un² + 12a (4) + 36 = 0

Maintenant, nous devons trouver deux nombres qui, multipliés ensemble, donnent comme résultat la valeur de "c" (qui est 36) et que, ajoutés ensemble, ils donnent le coefficient du terme "a", qui est 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

De cette manière, l'expression est réécrite, en tenant compte du fait que² un² = 4a _* 4a. Par conséquent, la propriété distributive pour chaque terme est appliquée:

(4a + 6) _* (4a + 6)

Enfin, l'expression est divisée par le coefficient de²; c'est-à-dire 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

L'expression est la suivante:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3)

Affacturage avec des produits notables

Il y a des cas dans lesquels, pour prendre pleinement en compte les polynômes avec les méthodes précédentes, cela devient un processus très long.

C'est pourquoi une expression peut être développée avec les formules des produits remarquables et le processus devient ainsi plus simple. Parmi les produits les plus utilisés, citons:

- Différence de deux carrés: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Carré parfait d'une somme: un² + 2ab + b² = (a + b)²

- Carré parfait d'une différence: un² - 2ab + b² = (a - b)²

- Différence de deux cubes: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Somme de deux cubes: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Exemple 1

Facteur (5)² - x²)

Solution

Dans ce cas, il y a une différence de deux carrés; par conséquent, la formule du produit remarquable est appliquée:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemple 2

Facteur 16x² + 40x + 25²

Solution

Dans ce cas, nous avons un carré parfait d'une somme, car nous pouvons identifier deux termes au carré, et le terme restant est le résultat de la multiplication par deux de la racine carrée du premier terme, par la racine carrée du second terme.

un² + 2ab + b² = (a + b)²

Pour prendre en compte, seules les racines carrées des premier et troisième termes sont calculées:

√ (16x²) = 4x

√(25²) = 5.

Ensuite, les deux termes résultants sont séparés par le signe de l'opération et le polynôme entier est mis au carré:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Exemple 3

Facteur 27a³ - b³

Solution

L'expression représente une soustraction dans laquelle deux facteurs sont portés au cube. Afin de les prendre en compte, la formule du produit notable de la différence de cube est appliquée, à savoir:

un³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Ainsi, pour factoriser, la racine cubique de chaque terme du binôme est extraite et multipliée par le carré du premier terme, plus le produit du premier par le deuxième terme, plus le second terme par le carré.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²) ]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Prendre en compte la règle de Ruffini

Cette méthode est utilisée lorsque vous avez un polynôme de degré supérieur à deux, afin de simplifier l’expression de plusieurs polynômes de moindre degré.

Exemple 1

Facteur Q (x) = x⁴ - 9x² + + 4x + 12

Solution

Cherchez d'abord les nombres diviseurs de 12, qui est le terme indépendant; ceux-ci sont ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 et ± 12.

Ensuite, le x est remplacé par ces valeurs, du plus bas au plus élevé, et il est donc déterminé avec laquelle des valeurs la division sera exacte; c'est-à-dire que le reste doit être 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9(-1)² + 4(-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9(1)² + 4(1) + 12 = 8  ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9(2)² + 4(2) + 12 = 0.

Et ainsi de suite pour chaque diviseur. Dans ce cas, les facteurs trouvés sont pour x = -1 et x = 2.

Maintenant, la méthode de Ruffini est appliquée, selon laquelle les coefficients de l'expression seront divisés entre les facteurs trouvés pour que la division soit exacte. Les termes polynomiaux sont classés du plus haut au plus bas exposant; Si un terme avec le degré suivant dans la séquence est manquant, un 0 est placé à sa place.

Les coefficients sont situés dans un schéma, comme on le voit dans l'image suivante.

Le premier coefficient est abaissé et multiplié par le diviseur. Dans ce cas, le premier diviseur est -1 et le résultat est placé dans la colonne suivante. Ensuite, la valeur du coefficient est ajoutée verticalement avec le résultat obtenu et le résultat est placé ci-dessous. De cette façon, le processus est répété jusqu'à la dernière colonne.

Ensuite, la même procédure est répétée à nouveau, mais avec le deuxième diviseur (qui est 2) car l'expression peut encore être simplifiée.

Ainsi, pour chaque racine obtenue, le polynôme aura un terme (x - a), où "a" est la valeur de la racine:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

En revanche, ces termes doivent être multipliés par le reste des règles 1: 1 et -6 de Ruffini, qui sont des facteurs représentant une note. Ainsi, l'expression formée est la suivante: (x² + x - 6).

L'obtention du résultat de la factorisation du polynôme par la méthode de Ruffini est:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Pour finir, le polynôme de degré 2 qui apparaît dans l'expression précédente peut être réécrit comme (x + 3) (x-2). Par conséquent, la factorisation finale est la suivante:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Références

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Comment enseigner aux enfants à propos de l'affacturage au polynôme.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Mathématiques de base avec applications.
4. Roelse, P. L. (1997). Méthodes linéaires pour la factorisation polynomiale sur les corps finis: théorie et implémentations. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anneaux et factorisation.