Distributions des caractéristiques et des exercices de probabilité discrète

Le distributions de probabilités discrètes ils sont une fonction qui assigne à chaque élément de X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, où X est une variable aléatoire discrète donnée et S est son espace échantillon, la probabilité que cet événement se produise. Cette fonction f de X (S) définie comme f (xi) = P (X = xi) est parfois appelée fonction de masse de probabilité.

Cette masse de probabilités est généralement représentée sous forme de tableau. Puisque X est une variable aléatoire discrète, X (S) a un nombre fini d'événements ou un infini dénombrable. Parmi les distributions de probabilités discrètes les plus courantes, nous avons la distribution uniforme, la distribution binomiale et la distribution de Poisson.

Index

• 1 caractéristiques
• 2 types
  • 2.1 Distribution uniforme sur n points
  • 2.2 Distribution binomiale
  • 2.3 Distribution de Poisson
  • 2.4 Distribution hypergéométrique
• 3 exercices résolus
  • 3.1 Premier exercice
  • 3.2 Deuxième exercice
  • 3.3 Troisième exercice
  • 3.4 Troisième exercice
• 4 références

Caractéristiques

La fonction de distribution de probabilité doit remplir les conditions suivantes:

De plus, si X ne prend qu'un nombre fini de valeurs (par exemple x1, x2, ..., xn), alors p (xi) = 0 si i> ny, la série infinie de la condition b devient donc Série finie

Cette fonction remplit également les propriétés suivantes:

Soit B un événement associé à la variable aléatoire X. Cela signifie que B est contenu dans X (S). Spécifiquement, supposons que B = {xi1, xi2, ...}. Donc:

En d'autres termes, la probabilité d'un événement B est égale à la somme des probabilités des résultats individuels associés à B.

Nous pouvons en conclure que si a <b, les événements (X ≤ a) et (a <X ≤ b) s'excluent mutuellement et, de plus, leur union est l'événement (X ≤ b), nous avons donc:

Types

Distribution uniforme sur n points

On dit qu'une variable aléatoire X suit une distribution qui se caractérise par son uniformité en n points si chaque probabilité se voit attribuer la même probabilité. Sa fonction de masse de probabilité est:

Supposons que nous ayons une expérience ayant deux résultats possibles, il peut s'agir du lancement d'une pièce dont les résultats possibles sont la face ou le tampon, ou le choix d'un nombre entier dont le résultat peut être un nombre pair ou un nombre impair; Ce type d'expérience est connu sous le nom de tests de Bernoulli.

En général, les deux résultats possibles sont appelés succès et échec, où p est la probabilité de succès et 1-p celui d'échec. Nous pouvons déterminer la probabilité de succès de x dans n tests de Bernoulli indépendants les uns des autres avec la distribution suivante.

Distribution binomiale

C'est cette fonction qui représente la probabilité d'obtenir x succès dans n tests de Bernoulli indépendants, dont la probabilité de succès est p. Sa fonction de masse de probabilité est:

Le graphique suivant représente la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de la distribution binomiale.

La distribution suivante doit son nom au mathématicien français Siméon Poisson (1781-1840), qui l'a obtenu comme limite de la distribution binomiale.

Distribution de Poisson

On dit qu'une variable aléatoire X a une distribution de Poisson du paramètre λ quand elle peut prendre les valeurs entières positives 0,1,2,3, avec la probabilité suivante:

Dans cette expression, λ est le nombre moyen correspondant aux occurrences de l'événement pour chaque unité de temps et x est le nombre de fois où l'événement se produit.

Sa fonction de masse de probabilité est:

Ensuite, un graphique qui représente la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de la distribution de Poisson.

Notez que, tant que le nombre de succès est faible et que le nombre n de tests effectués dans une distribution binomiale est élevé, nous pouvons toujours approcher ces distributions, car la distribution de Poisson est la limite de la distribution binomiale.

La principale différence entre ces deux distributions est que, alors que le binôme dépend de deux paramètres, à savoir n et p, le coefficient de Poisson ne dépend que de λ, parfois appelé intensité de la distribution.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté des distributions de probabilité pour les cas où les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres; c'est-à-dire lorsque le résultat de l'un n'est pas affecté par un autre résultat.

Lorsque des expériences non indépendantes ont lieu, la distribution hypergéométrique est très utile.

Distribution hypergéométrique

Soit N le nombre total d'objets d'un ensemble fini, dont on peut identifier k d'une certaine manière, formant un sous-ensemble K, dont le complément est formé par les N-k restants.

Si l'on choisit aléatoirement n objets, la variable aléatoire X représentant le nombre d'objets appartenant à K dans cette élection a une distribution hypergéométrique des paramètres N, n et k. Sa fonction de masse de probabilité est:

Le graphique suivant représente la fonction de masse de probabilité pour différentes valeurs des paramètres de la distribution hypergéométrique.

Exercices résolus

Premier exercice

Supposons que la probabilité qu'un tube radio (placé dans un certain type d'équipement) fonctionne pendant plus de 500 heures est de 0,2. Si 20 tubes sont testés, quelle est la probabilité pour que k exactement travaillent plus de 500 heures, k = 0, 1,2, ..., 20?

Solution

Si X est le nombre de tubes qui travaillent plus de 500 heures, nous supposons que X a une distribution binomiale. Ensuite

Et donc:

Pour k≥11, les probabilités sont inférieures à 0,001

Ainsi, on peut observer comment la probabilité que k de ceux-ci fonctionnent plus de 500 heures augmente, jusqu'à ce qu'elle atteigne sa valeur maximale (avec k = 4) et commence ensuite à diminuer.

Deuxième exercice

Une pièce de monnaie est lancée 6 fois. Lorsque le résultat est coûteux, nous dirons que c'est un succès. Quelle est la probabilité que deux visages sortent exactement?

Solution

Pour ce cas, nous avons que n = 6 et que la probabilité de succès et l’échec sont tous deux p = q = 1/2

Par conséquent, la probabilité que deux faces soient données (c'est-à-dire k = 2) est

Troisième exercice

Quelle est la probabilité de trouver au moins quatre faces?

Solution

Pour ce cas nous avons que k = 4, 5 ou 6

Troisième exercice

Supposons que 2% des articles produits dans une usine soient défectueux. Trouvez la probabilité P qu'il y ait trois articles défectueux dans un échantillon de 100 éléments.

Solution

Pour ce cas, nous pourrions appliquer la distribution binomiale pour n = 100 et p = 0,02, en obtenant comme résultat:

Cependant, puisque p est petit, nous utilisons l'approximation de Poisson avec λ = np = 2. Ainsi,

Références

1. Kai Lai Chung Théorie élémentaire de la proabilité avec processus stochastiques. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, les mathématiques discrètes et leurs applications. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Applications probabilistes et statistiques. S.A. ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problèmes résolus de mathématiques discrètes. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Théorie et problèmes de probabilité. McGRAW-HILL.