Techniques d'analyse dimensionnelle, principe d'homogénéité et d'exercices

Le analyse dimensionnelle est un outil largement utilisé dans différentes branches de la science et de l'ingénierie pour mieux comprendre les phénomènes qui impliquent la présence de différentes grandeurs physiques. Les grandeurs ont des dimensions et à partir de celles-ci, les différentes unités de mesure sont dérivées.

L'origine du concept de dimension se trouve dans le mathématicien français Joseph Fourier, qui l'a inventé. Fourier a également compris que, pour que deux équations soient comparables, elles doivent être homogènes en termes de dimensions. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas ajouter de mètres avec des kilogrammes.

Ainsi, l'analyse dimensionnelle est responsable de l'étude des grandeurs, des dimensions et de l'homogénéité des équations physiques. Pour cette raison, il est fréquemment utilisé pour vérifier les relations et les calculs, ou pour construire des hypothèses sur des questions complexes qui peuvent ensuite être testées expérimentalement.

De cette manière, l’analyse dimensionnelle est un outil parfait pour détecter les erreurs dans les calculs lors de la vérification de la congruence ou de l’incongruence des unités utilisées, en particulier en ce qui concerne les unités des résultats finaux.

De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour projeter des expériences systématiques. Cela permet de réduire le nombre d'expériences nécessaires et de faciliter l'interprétation des résultats obtenus.

L'une des bases fondamentales de l'analyse dimensionnelle est qu'il est possible de représenter n'importe quelle quantité physique en tant que produit des puissances d'une plus petite quantité, appelées quantités fondamentales dont les autres dérivent.

Index

• 1 Grandeurs fondamentales et formule dimensionnelle
• 2 techniques d'analyse dimensionnelle
  • 2.1 Méthode Rayleigh
  • 2.2 Méthode de Buckingham
• 3 Principe d'homogénéité dimensionnelle
  • 3.1 Principe de similitude
• 4 applications
• 5 exercices résolus
  • 5.1 Premier exercice
  • 5.2 Deuxième exercice
• 6 références

Magnitudes fondamentales et formule dimensionnelle

En physique, les grandeurs fondamentales sont considérées comme celles qui permettent aux autres de s’exprimer en fonction de celles-ci. Par convention, les éléments suivants ont été choisis: la longueur (L), le temps (T), la masse (M), l'intensité du courant électrique (I), la température (θ), l'intensité lumineuse (J) et le quantité de substance (N).

Au contraire, le reste est considéré comme des quantités dérivées. Certains d'entre eux sont: l'aire, le volume, la densité, la vitesse, l'accélération, entre autres.

Il est défini comme une formule dimensionnelle à l'égalité mathématique qui présente la relation qui se produit entre une quantité dérivée et les quantités fondamentales.

Techniques d'analyse dimensionnelle

Il existe plusieurs techniques ou méthodes d'analyse dimensionnelle. Deux des plus importants sont les suivants:

Méthode Rayleigh

Rayleigh, proche de Fourier, l’un des précurseurs de l’analyse dimensionnelle, a développé une méthode directe et très simple permettant d’obtenir des éléments sans dimension. Dans cette méthode, les étapes suivantes sont suivies:

1- La fonction de caractère potentiel de la variable dépendante est définie.

2- Chaque variable est modifiée par ses dimensions correspondantes.

3- Les équations de conditions d'homogénéité sont établies.

4- Les inconnus n-p sont fixes.

5- Remplacez les exposants qui ont été calculés et fixés dans l’équation potentielle.

6- Déplacez les groupes de variables pour définir les nombres sans dimension.

Méthode Buckingham

Cette méthode est basée sur le théorème de Buckingham ou le théorème de pi, qui stipule ce qui suit:

S'il existe une relation à un niveau dimensionnel homogène entre un nombre "n" de grandeurs physiques ou des variables où "p" différentes dimensions fondamentales apparaissent, il existe également une relation d'homogénéité entre les groupes sans dimension indépendants n-p.

Principe d'homogénéité dimensionnelle

Le principe de Fourier, également connu sous le nom de principe d’homogénéité dimensionnelle, affecte la structuration correcte des expressions qui lient algébriquement les grandeurs physiques.

C'est un principe qui a une cohérence mathématique et indique que la seule option consiste à soustraire ou à ajouter des grandeurs physiques de même nature. Par conséquent, il n'est pas possible d'ajouter une masse avec une longueur, une heure avec une surface, etc.

De même, le principe stipule que, pour que les équations physiques soient correctes au niveau dimensionnel, les termes totaux des membres des deux côtés de l’égalité doivent avoir la même dimension. Ce principe permet de garantir la cohérence des équations physiques.

Principe de similarité

Le principe de similarité est une extension du caractère d'homogénéité dimensionnelle des équations physiques. Il est indiqué comme suit:

Les lois physiques restent inchangées face au changement des dimensions (taille) d'un fait physique dans le même système d'unités, qu'il s'agisse de changements réels ou imaginaires.

L'application la plus claire du principe de similarité est donnée dans l'analyse des propriétés physiques d'un modèle à plus petite échelle, pour ensuite utiliser les résultats dans l'objet à taille réelle.

Cette pratique est fondamentale dans des domaines tels que la conception et la fabrication d'aéronefs et de navires et dans les grands ouvrages hydrauliques.

Applications

Parmi les nombreuses applications de l'analyse dimensionnelle, nous pouvons mettre en évidence celles énumérées ci-dessous.

- Localiser les éventuelles erreurs dans les opérations effectuées

- Résoudre des problèmes dont la résolution présente une difficulté mathématique insurmontable.

- Concevoir et analyser des modèles à une échelle réduite.

- Faire des observations sur la façon dont les modifications possibles dans un modèle influencent.

En outre, l’analyse dimensionnelle est utilisée assez fréquemment dans l’étude de la mécanique des fluides.

La pertinence de l'analyse dimensionnelle en mécanique des fluides est due à la difficulté d'établir des équations dans certains écoulements ainsi qu'à la difficulté de les résoudre, de sorte qu'il est impossible d'obtenir des relations empiriques. Pour cette raison, il est nécessaire de recourir à la méthode expérimentale.

Exercices résolus

Premier exercice

Trouver l'équation dimensionnelle de la vitesse et de l'accélération.

Solution

Puisque v = s / t, il est vrai que: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Pareillement:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Deuxième exercice

Déterminer l'équation dimensionnelle de la quantité de mouvement.

Solution

Comme le moment est le produit entre la masse et la vitesse, il est satisfait que p = m ∙ v

Pourtant:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

Références

1. Analyse dimensionnelle (n.d.). Dans Wikipedia. Récupéré le 19 mai 2018 sur es.wikipedia.org.
2. Analyse dimensionnelle (n.d.). Dans Wikipedia. Récupéré le 19 mai 2018 de en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951),Analyse dimensionnelle et théorie des modèles, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005)Physique et Chimie. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Comprendre la physique. Birkhäuser.