Gradient des caractéristiques potentielles, comment le calculer et exemple

Le gradient potentiel est un vecteur qui représente la relation de changement du potentiel électrique par rapport à la distance dans chaque axe d'un système de coordonnées cartésiennes. Ainsi, le vecteur de gradient de potentiel indique la direction dans laquelle le taux de variation du potentiel électrique est supérieur, en fonction de la distance.

À son tour, le module de gradient de potentiel reflète le taux de variation de la variation du potentiel électrique dans une direction particulière. Si la valeur de ceci est connue à chaque point d'une région spatiale, alors le champ électrique peut être obtenu à partir du gradient de potentiel.

Le champ électrique est défini comme un vecteur avec lequel il a une direction et une amplitude spécifiques. En déterminant la direction dans laquelle le potentiel électrique diminue plus rapidement en s'éloignant du point de référence et en divisant cette valeur par la distance parcourue, on obtient la magnitude du champ électrique.

Index

• 1 caractéristiques
• 2 Comment le calculer?
• 3 exemple
  • 3.1 Exercice
• 4 références

Caractéristiques

Le gradient de potentiel est un vecteur délimité par des coordonnées spatiales spécifiques, qui mesure le taux de variation entre le potentiel électrique et la distance parcourue par ledit potentiel.

Les caractéristiques les plus remarquables du gradient de potentiel électrique sont détaillées ci-dessous:

1- Le gradient potentiel est un vecteur. Par conséquent, il a une ampleur et une direction spécifiques.

2- Comme le gradient de potentiel est un vecteur dans l'espace, il a des grandeurs adressées dans les axes X (largeur), Y (haut) et Z (profondeur), si le système de coordonnées cartésiennes est pris comme référence.

3- Ce vecteur est perpendiculaire à la surface équipotentielle au point d'évaluation du potentiel électrique.

4- Le vecteur de gradient de potentiel est dirigé vers la direction de la variation maximale de la fonction de potentiel électrique en tout point.

5- Le module du gradient de potentiel est égal à celui dérivé de la fonction de potentiel électrique par rapport à la distance parcourue dans la direction de chacun des axes du repère cartésien.

6- Le gradient de potentiel a une valeur nulle dans les points fixes (maximum, minimum et points de selle).

7- Dans le système international d’unités (SI), les unités de mesure du gradient de potentiel sont les volts / mètres.

8- La direction du champ électrique est la même dans laquelle le potentiel électrique diminue plus rapidement. À leur tour, le gradient de potentiel pointe dans la direction dans laquelle le potentiel augmente sa valeur par rapport à un changement de position. Ensuite, le champ électrique a la même valeur que le gradient de potentiel, mais avec un signe opposé.

Comment le calculer?

La différence de potentiel électrique entre deux points (point 1 et point 2) est donnée par l'expression suivante:

Où:

V1: potentiel électrique au point 1.

V2: potentiel électrique au point 2.

E: grandeur du champ électrique.

Ѳ: inclinaison de l'inclinaison du vecteur du champ électrique mesurée par rapport au système de coordonnées.

En exprimant cette formule différentiellement, on peut en déduire:

Le facteur E * cos (Ѳ) se réfère au module de la composante du champ électrique dans la direction de dl. Soit L l'axe horizontal du plan de référence, alors cos (Ѳ) = 1, comme ceci:

Dans la suite, le quotient entre la variation du potentiel électrique (dV) et la variation de la distance parcourue (ds) est le module du gradient de potentiel pour cette composante.

Il en résulte que la magnitude du gradient de potentiel électrique est égale à la composante du champ électrique dans la direction de l’étude, mais avec le signe opposé.

Cependant, l'environnement réel étant tridimensionnel, le gradient de potentiel à un point donné doit être exprimé par la somme de trois composantes spatiales sur les axes X, Y et Z du système cartésien.

En décomposant le vecteur de champ électrique en ses trois composantes rectangulaires, nous avons les éléments suivants:

S'il existe une région dans le plan où le potentiel électrique a la même valeur, la dérivée partielle de ce paramètre par rapport à chacune des coordonnées cartésiennes sera égale à zéro.

Ainsi, à des points situés sur des surfaces équipotentielles, l’intensité du champ électrique aura une amplitude nulle.

Enfin, le vecteur de gradient de potentiel peut être défini comme étant exactement le même vecteur de champ électrique (en amplitude), avec un signe opposé. Ainsi, nous avons ce qui suit:

Exemple

À partir des calculs ci-dessus, vous devez:

Maintenant, avant de déterminer le champ électrique en fonction du gradient de potentiel, ou inversement, il faut d'abord déterminer la direction dans laquelle la différence de potentiel électrique augmente.

Après cela, le quotient de la variation du potentiel électrique et de la variation de la distance nette parcourue est déterminé.

De cette manière, on obtient la grandeur du champ électrique associé, qui est égale à la magnitude du gradient de potentiel dans cette coordonnée.

Exercice

Il y a deux plaques parallèles, comme le montre la figure suivante.

Étape 1

La direction de croissance du champ électrique sur le système de coordonnées cartésiennes est déterminée.

Le champ électrique ne se développe que dans le sens horizontal, compte tenu de la disposition des plaques parallèles. Par conséquent, il est possible de déduire que les composantes du gradient de potentiel sur l'axe Y et l'axe Z sont nulles.

Étape 2

Les données d'intérêt sont discriminées.

- Différence de potentiel: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Différence de distance: dx = 10 centimètres.

Pour garantir la congruence des unités de mesure utilisées selon le système international d'unités, les quantités qui ne sont pas exprimées en SI doivent être converties en conséquence. Ainsi, 10 centimètres est égal à 0,1 mètre et enfin: dx = 0,1 mètre.

Étape 3

La magnitude du vecteur de gradient potentiel est calculée comme il convient.

Références

1. Électricité (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Royaume-Uni. Récupéré de: britannica.com
2. Gradient potentiel (s.f.). Université nationale autonome du Mexique. Mexico, Mexique. Récupéré de: profesores.dcb.unam.mx
3. Interaction électrique Récupéré de: matematicasypoesia.com.es
4. Gradient de potentiel (s.f.). Récupéré de: circuitglobe.com
5. Relation entre le potentiel et le champ électrique (s.f.). Institut Technologique du Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Récupéré de: repositoriotec.tec.ac.cr
6. Wikipedia, l'encyclopédie libre (2018). Dégradé Extrait de: en.wikipedia.org