Définition de Laplace transformée, histoire, de quoi s'agit-il, propriétés

Le transformé de Laplace Ces dernières années ont été d'une grande importance dans les études d'ingénierie, de mathématiques, de physique, entre autres domaines scientifiques, car, en plus d'être d'un grand intérêt pour la théorie, fournit un moyen simple de résoudre les problèmes issus de la science et de l'ingénierie .

À l'origine, la transformation de Laplace a été introduite par Pierre-Simon Laplace dans son étude de la théorie des probabilités et a été initialement traitée comme un objet mathématique d'un intérêt purement théorique.

Les applications actuelles se présentent lorsque divers mathématiciens tentent de justifier formellement les "règles opérationnelles" utilisées par Heaviside dans l'étude des équations de la théorie électromagnétique.

Index

• 1 définition
  • 1.1 Exemples
  • 1.2 Théorème (conditions suffisantes pour l'existence)
  • 1.3 La transformée de Laplace de certaines fonctions de base
• 2 histoire
  • 2,1 1782, Laplace
  • 2.2 Oliver Heaviside
• 3 propriétés
  • 3.1 Linéarité
  • 3.2 Premier théorème de traduction
  • 3.3 Deuxième théorème de traduction
  • 3.4 Changement d'échelle
  • 3.5 transformation de la place des dérivés
  • 3.6 Transformée d'intégrales de Laplace
  • 3.7 Multiplication par tn
  • 3.8 Division par t
  • 3.9 Fonctions périodiques
  • 3.10 Comportement de F (s) quand s tend vers l'infini
• 4 transformations inverses
  • 4.1 Exercice
• 5 applications de la transformée de Laplace
  • 5.1 Equations différentielles
  • 5.2 Systèmes d'équations différentielles
  • 5.3 Mécanique et circuits électriques
• 6 références

Définition

Soit f une fonction définie pour t ≥ 0. La transformée de Laplace est définie comme suit:

On dit que la transformation de Laplace existe si l’intégrale précédente converge, sinon on dit que la transformation de Laplace n’existe pas.

En général, pour désigner la fonction que l'on veut transformer, les lettres minuscules sont utilisées et la lettre majuscule correspond à sa transformation. De cette manière, nous aurons:

Des exemples

Considérons la fonction constante f (t) = 1. Nous avons que sa transformation est:

À chaque fois que l'intégrale converge, on prévoit toujours que s> 0. Sinon, s <0, l'intégrale diverge.

Soit g (t) = t. Sa transformée de Laplace est donnée par

En intégrant des parties et en sachant que vous^-st il tend vers 0 quand t tend vers l'infini et s> 0, avec l'exemple précédent nous avons ceci:

La transformation peut ou non exister, par exemple pour la fonction f (t) = 1 / t l'intégrale qui définit sa transformée de Laplace ne converge pas et donc sa transformation n'existe pas.

Des conditions suffisantes pour garantir l'existence de la transformée de Laplace d'une fonction f sont que f est continue en parties pour t ≥ 0 et est d'ordre exponentiel.

On dit qu'une fonction est continue en parties pour t ≥ 0, quand pour tout intervalle [a, b] avec a> 0, il y a un nombre fini de points t_k, où f a des discontinuités et est continue dans chaque sous-intervalle [t_k-1, t_k].

Par contre, on dit qu'une fonction est d'ordre exponentiel c s'il existe des constantes réelles M> 0, c et T> 0 telles que:

Comme exemples, nous avons que f (t) = t² est d'ordre exponentiel, puisque | t²| <e^3t pour tout t> 0.

De manière formelle, nous avons le théorème suivant

Théorème (Conditions suffisantes pour l'existence)

Si f est une fonction continue par partie pour t> 0 et d'ordre exponentiel c, alors il y a la transformation de Laplace pour s> c.

Il est important de souligner qu’il s’agit d’une condition de suffisance, c’est-à-dire qu’il peut y avoir une fonction qui ne répond pas à ces conditions et même alors, sa transformation de Laplace existe.

Un exemple de ceci est la fonction f (t) = t^-1/2 ce n'est pas continu dans les parties pour t ≥ 0 mais sa transformation de Laplace existe.

Laplace transformée de certaines fonctions de base

Le tableau suivant montre les transformations de Laplace des fonctions les plus courantes.

Histoire

La transformation de Laplace doit son nom à Pierre-Simon Laplace, mathématicien et astronome français, né en 1749 et mort en 1827. Sa renommée était telle qu'il était connu sous le nom de Newton de France.

En 1744, Leonard Euler consacra ses études aux intégrales avec la forme

comme solutions d'équations différentielles ordinaires, mais a rapidement abandonné cette enquête. Plus tard, Joseph Louis Lagrange, qui admirait beaucoup Euler, a également étudié ce type d'intégrales et les a reliées à la théorie des probabilités.

1782, Laplace

En l'an 1782, il a commencé à étudier Intégrales telles que les solutions de Laplace aux équations différentielles et selon les historiens, en 1785, il a décidé de reformuler le problème, qui a ensuite donné naissance à la transformée de Laplace telle qu'elle est comprise aujourd'hui.

Introduit dans le domaine de la théorie des probabilités, il intéressait peu les scientifiques de l'époque et n'était perçu que comme un objet mathématique d'intérêt théorique.

Oliver Heaviside

Ce fut le milieu du XIXe siècle, quand l'ingénieur anglais Oliver Heaviside a constaté que les opérateurs différentiels peuvent être traités comme des variables algébriques, donnant son application moderne transformée de Laplace.

Oliver Heaviside était un physicien, ingénieur électricien et mathématicien anglais né en 1850 à Londres et est mort en 1925.Tout en essayant de résoudre les problèmes des équations différentielles appliquées à la théorie des vibrations et en utilisant les études de Laplace, il a commencé à façonner les applications modernes des transformations de Laplace.

Les résultats présentés par Heaviside se sont rapidement répandus dans la communauté scientifique de l'époque, mais son travail n'étant pas rigoureux, il a rapidement été critiqué par des mathématiciens plus traditionnels.

Cependant, l'utilité du travail d'Heaviside dans la résolution des équations de physique rend ses méthodes populaires parmi les physiciens et les ingénieurs.

En dépit de ces contretemps et après quelques décennies de tentatives infructueuses, au début du XXe siècle, une justification rigoureuse pouvait être donnée aux règles opérationnelles données par Heaviside.

Ces tentatives ont porté leurs fruits grâce aux efforts de divers mathématiciens tels que Bromwich, Carson, van der Pol, entre autres.

Propriétés

Parmi les propriétés de la transformée de Laplace, on peut citer les suivantes:

Linéarité

Soient c1 et c2 des constantes et les fonctions f (t) et g (t) dont les transformations de Laplace sont respectivement F (s) et G (s), il faut alors:

En raison de cette propriété, on dit que la transformation de Laplace est un opérateur linéaire.

Exemple

Premier théorème de traduction

S'il arrive que:

Et 'a' est un nombre réel, alors:

Exemple

Comme la transformée de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) alors:

Deuxième théorème de traduction

Oui

Ensuite

Exemple

Si f (t) = t ^ 3, alors F (s) = 6 / s ^ 4. Et donc, la transformation de

est G (s) = 6e^-2s/ s ^ 4

Changement d'échelle

Oui

Et 'a' est un réel non nul, nous devons

Exemple

Puisque la transformation de f (t) = sin (t) est F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), elle doit être

transformation de la place des dérivés

Si f, f ', f ", ..., f⁽ⁿ⁾ sont continus pour t ≥ 0 et sont d'ordre exponentiel et f⁽ⁿ⁾(t) est continu en parties pour t ≥ 0, alors

La transformée d'intégrales de Laplace

Oui

Ensuite

Multiplication par tⁿ

Si nous devons

Ensuite

Division par t

Si nous devons

Ensuite

Fonctions périodiques

Soit f une fonction périodique de période T> 0, soit f (t + T) = f (t), alors

Comportement de F (s) lorsque s tend vers l'infini

Si f est continu dans les parties et d'ordre exponentiel et

Ensuite

Transformations inverses

Lorsque nous appliquons la transformée de Laplace à une fonction f (t), nous obtenons F (s), qui représente cette transformation. De la même manière, on peut dire que f (t) est la transformée inverse de Laplace de F (s) et est écrite comme

On sait que les transformées de Laplace de f (t) = 1 et g (t) = t sont F (s) = 1 / s et G (s) = 1 / s² respectivement, nous devons donc

Quelques transformées inverses communes de Laplace sont comme suit

De plus, la transformée inverse de Laplace est linéaire, c’est-à-dire que

Exercice

Trouver

Pour résoudre cet exercice, nous devons faire correspondre la fonction F (s) avec un des tableaux précédents. Dans ce cas, si nous prenons n + 1 = 5 et utilisons la propriété de linéarité de la transformée inverse, nous multiplions et divisons par 4! Obtenir

Pour la seconde transformation inverse, nous appliquons des fractions partielles pour réécrire la fonction F (s), puis la propriété de la linéarité, en obtenant

Comme on peut le voir à partir de ces exemples, il est fréquent que la fonction F (s) évaluée ne corresponde à aucune des fonctions données dans le tableau. Pour ces cas, comme indiqué, il suffit de réécrire la fonction jusqu’à ce qu’elle atteigne le format approprié.

Applications de la transformée de Laplace

Équations différentielles

La principale application des transformées de Laplace consiste à résoudre des équations différentielles.

En utilisant la propriété de la transformation d'un dérivé, il est clair que

Et des n-1 dérivés évalués à t = 0.

Cette propriété rend la transformation très utile pour résoudre des problèmes de valeur initiale impliquant des équations différentielles à coefficients constants.

Les exemples suivants montrent comment utiliser la transformée de Laplace pour résoudre des équations différentielles.

Exemple 1

Compte tenu du problème de valeur initiale suivant

Utilisez la transformation de Laplace pour trouver la solution.

Nous appliquons la transformée de Laplace à chaque membre de l'équation différentielle

Pour la propriété de la transformation d'un dérivé, nous avons

En développant toutes les expressions et en effaçant Y (s), nous sommes laissés

Utiliser des fractions partielles pour réécrire le côté droit de l'équation que nous obtenons

Finalement, notre objectif est de trouver une fonction y (t) qui satisfait l’équation différentielle. L'utilisation de la transformation inverse de Laplace nous donne le résultat

Exemple 2

Résoudre

Comme dans le cas précédent, nous appliquons la transformation des deux côtés de l'équation et séparons le terme par terme.

De cette façon, nous avons comme résultat

Remplacer par les valeurs initiales données et effacer Y (s)

En utilisant des fractions simples, nous pouvons réécrire l'équation comme suit

Et l'application de la transformée inverse de Laplace nous donne comme résultat

Dans ces exemples, on pourrait arriver à la conclusion erronée que cette méthode n’est pas bien meilleure que les méthodes traditionnelles de résolution des équations différentielles.

Les avantages offerts par la transformée de Laplace sont qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser la variation des paramètres ou de se préoccuper des différents cas de la méthode des coefficients indéterminés.

En plus de résoudre les problèmes de valeur initiale par cette méthode, nous utilisons dès le début les conditions initiales, il n'est donc pas nécessaire d'effectuer d'autres calculs pour trouver la solution particulière.

Systèmes d'équations différentielles

La transformée de Laplace peut également être utilisée pour trouver des solutions à des équations différentielles ordinaires simultanées, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple

Résoudre

Avec les conditions initiales x (0) = 8 e et (0) = 3.

Si nous devons

Ensuite

Résoudre les résultats en nous

Et en appliquant la transformée inverse de Laplace, nous avons

Mécanique et circuits électriques

La transformation de Laplace revêt une grande importance en physique, notamment pour les applications mécaniques et les circuits électriques.

Un circuit électrique simple est composé des éléments suivants

Un interrupteur, une batterie ou une source, un inducteur, une résistance et un condensateur. Lorsque l'interrupteur est fermé, il se produit un courant électrique désigné par i (t). La charge du condensateur est notée q (t).

Selon la seconde loi de Kirchhoff, la tension produite par la source E vers le circuit fermé doit être égale à la somme de chacune des chutes de tension.

Le courant électrique i (t) est lié à la charge q (t) du condensateur par i = dq / dt. Par contre, la chute de tension est définie dans chacun des éléments comme suit:

La chute de tension dans une résistance est iR = R (dq / dt)

La chute de tension dans un inducteur est L (di / dt) = L (d²q / dt²)

La chute de tension dans un condensateur est q / c

Avec ces données et en appliquant la seconde loi de Kirchhoff au circuit simple fermé, on obtient une équation différentielle du second ordre qui décrit le système et permet de déterminer la valeur de q (t).

Exemple

Un inducteur, un condensateur et une résistance sont connectés à une batterie E, comme indiqué sur la figure. L'inducteur est de 2 henries, le condensateur de 0,02 farads et la résistance de 16 onhm. Au temps t = 0, le circuit est fermé. Trouver la charge et le courant à tout moment t> 0 si E = 300 volts.

Nous avons l'équation différentielle qui décrit ce circuit est la suivante

Où les conditions initiales sont q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

En appliquant la transformation de Laplace, nous obtenons cela

Et effacer Q (t)

Ensuite, en appliquant la transformation inverse de Laplace, nous avons

Références

1. G. Holbrook, J. (1987). Transformation de Laplace pour les ingénieurs en électronique. Chaux
2. Ruiz, L. M. et Hernandez, M. P. (2006). Equations différentielles et transformation de Laplace avec des applications. Editorial UPV.
3. Simmons, G. F. (1993). Équations différentielles avec applications et notes historiques. McGraw-Hill.
4. Spiegel, M. R. (1991). Transformé de Laplace. McGraw-Hill.
5. Zill, D. G. et Cullen, M. R. (2008). Équations différentielles avec des problèmes de valeurs à la frontière. Editeurs d'apprentissage de cengage, S.A.