Transformations isométriques Composition, types et exemples



Le Transformations isométriques ce sont des changements de position ou d'orientation d'un certain chiffre qui n'altèrent ni sa forme ni sa taille. Ces transformations sont classées en trois types: translation, rotation et réflexion (isométrie). En général, les transformations géométriques permettent de créer une nouvelle figure à partir d'une autre donnée.

Une transformation en une figure géométrique signifie que, d’une certaine façon, elle a été soumise à des changements; c'est-à-dire qu'il a été modifié. Selon le sens de l'original et du similaire dans le plan, les transformations géométriques peuvent être classées en trois types: isométrique, isomorphe et anamorphique.

Index

  • 1 caractéristiques
  • 2 types
    • 2.1 Par traduction
    • 2.2 par rotation
    • 2.3 Par réflexion ou symétrie
  • 3 composition
    • 3.1 Composition d'une traduction
    • 3.2 Composition d'un roulement
    • 3.3 Composition d'une symétrie
  • 4 références

Caractéristiques

Les transformations isométriques se produisent lorsque les grandeurs des segments et les angles entre l’original et la figure transformée sont préservés.

Dans ce type de transformation, ni la forme ni la taille de la figure ne sont altérées (elles sont congruentes), ce n'est qu'un changement de position de la figure, que ce soit dans l'orientation ou dans la direction. De cette manière, les chiffres initiaux et finaux seront similaires et géométriquement congruents.

L'isométrie fait référence à l'égalité; c'est-à-dire que les figures géométriques seront isométriques si elles ont la même forme et la même taille.

Dans les transformations isométriques, la seule chose qui peut être observée est un changement de position dans le plan, un mouvement rigide se produit grâce auquel la figure passe d'une position initiale à une position finale. Cette figure est appelée homologue (similaire) à l'original.

Il existe trois types de mouvements qui classifient une transformation isométrique: la translation, la rotation et la réflexion ou la symétrie.

Types

Par traduction

Sont ces isométries qui permettent de déplacer en ligne droite tous les points du plan dans une certaine direction et une certaine distance.

Lorsqu'une figure est transformée par translation, elle ne change pas d'orientation par rapport à la position initiale et ne perd pas non plus ses mesures internes, les mesures de ses angles et de ses côtés. Ce type de déplacement est défini par trois paramètres:

- une direction qui peut être horizontale, verticale ou oblique.

- Un sens, qui peut être à gauche, à droite, en haut ou en bas.

- Distance ou magnitude, qui est la longueur de la position initiale à la fin de tout point qui se déplace.

Pour qu'une transformation isométrique par traduction soit remplie, elle doit remplir les conditions suivantes:

- La figure doit toujours garder toutes ses dimensions, à la fois linéaires et angulaires.

- la figure ne change pas de position par rapport à l’axe horizontal; c'est-à-dire que son angle ne varie jamais.

- Les traductions seront toujours résumées en une seule, quel que soit le nombre de traductions effectuées.

Dans un plan où le centre est un point O, avec les coordonnées (0,0), la traduction est définie par un vecteur T (a, b), qui indique le déplacement du point initial. C'est-à-dire:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Par exemple, si une translation T (-4, 7) est appliquée au point de coordonnées P (8, -2), on obtient:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Dans l'image suivante (à gauche), on peut voir comment le point C a été déplacé jusqu'à ce qu'il coïncide avec D. Il l'a fait dans la direction verticale, la direction était vers le haut et la distance ou la magnitude du CD était de 8 mètres. Dans l'image de droite, la traduction d'un triangle est observée:

Par rotation

Ce sont ces isométries qui permettent à la figure de faire pivoter tous les points d'un plan. Chaque point tourne suivant un arc qui a un angle constant et un point fixe (centre de rotation) déterminé.

C'est-à-dire que toute rotation sera définie par son centre de rotation et son angle de rotation. Lorsqu'une figure est transformée par rotation, elle garde la mesure de ses angles et de ses côtés.

La rotation se produit dans une certaine direction, est positive lorsque la rotation est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (contrairement à la rotation des aiguilles de l'horloge) et négative lorsque sa rotation est dans le sens des aiguilles d'une montre.

Si un point (x, y) est tourné par rapport à l’origine, c’est-à-dire que son centre de rotation est (0,0), sous un angle de 90o à 360o Les coordonnées des points seront:

Dans le cas où la rotation n'a pas de centre à l'origine, l'origine du système de coordonnées doit être transférée à la nouvelle origine donnée, afin de pouvoir faire pivoter la figure d'origine.

Par exemple, si une rotation de 90 est appliquée au point P (-5,2)o, autour de l'origine et dans un sens positif, ses nouvelles coordonnées seront (-2,5).

Par réflexion ou symétrie

Ce sont ces transformations qui inversent les points et les figures du plan. Cet investissement peut porter sur un point ou sur une ligne.

En d'autres termes, dans ce type de transformation, chaque point de la figure originale est associé à un autre point (image) de la figure homologue, de telle sorte que le point et son image sont à la même distance d'une ligne appelée axe de symétrie .

Ainsi, la partie gauche de la figure sera le reflet de la partie droite, sans changer sa forme ou ses dimensions. La symétrie transforme une figure en une autre, bien que dans la direction opposée, comme on peut le voir dans l'image suivante:

La symétrie est présente sous de nombreux aspects, comme dans certaines plantes (tournesols), dans les animaux (paons) et dans les phénomènes naturels (flocons de neige). L'être humain le reflète dans son visage, considéré comme facteur de beauté. La réflexion ou la symétrie peut être de deux types:

Symétrie centrale

C'est cette transformation qui se produit par rapport à un point, dans laquelle la figure peut changer d'orientation. Chaque point de la figure originale et son image sont à la même distance d'un point O, appelé centre de symétrie. La symétrie est centrale lorsque:

- Le point et son image et son centre appartiennent à la même ligne.

- Avec une rotation de 180o du centre O vous obtenez un chiffre égal à l'original.

- Les traits de la figure initiale sont parallèles aux coups de la figure formée.

- Le sens de la figure ne change pas, il sera toujours dans le sens des aiguilles d’une montre.

Symétrie axiale

Cette transformation se produit par rapport à l'axe de symétrie, où chaque point de la figure initiale est associé à un autre point de l'image et ceux-ci sont à la même distance de l'axe de symétrie. La symétrie est axiale quand:

- Le segment qui relie un point à son image est perpendiculaire à son axe de symétrie.

- Les chiffres changent de direction par rapport au virage ou dans le sens des aiguilles d’une montre.

- Lors de la division de la figure avec une ligne centrale (axe de symétrie), l’une des moitiés résultantes correspond complètement à une autre des moitiés.

Composition

Une composition de transformations isométriques fait référence à l'application successive de transformations isométriques sur la même figure.

Composition d'une traduction

La composition de deux traductions se traduit par une autre traduction. Lorsqu'elles sont exécutées dans le plan, sur l'axe horizontal (x), seules les coordonnées de cet axe changent, tandis que les coordonnées de l'axe vertical (y) restent les mêmes et inversement.

Composition d'une rotation

La composition de deux tours avec le même centre entraîne un autre tour, qui a le même centre et dont l'amplitude sera la somme des amplitudes des deux tours.

Si le centre des spires a un centre différent, la coupe de la bissectrice de deux segments de points similaires sera le centre de rotation.

Composition d'une symétrie

Dans ce cas, la composition dépendra de la façon dont elle est appliquée:

- Si la même symétrie est appliquée deux fois, le résultat sera une identité.

- Si deux symétries sont appliquées par rapport à deux axes parallèles, le résultat sera une translation et son déplacement est le double de la distance de ces axes:

- Si deux symétries sont appliquées par rapport à deux axes qui sont coupés au point O (centre), on obtiendra une rotation avec centre en O et son angle sera le double de l'angle formé par les axes:

Références

  1. V Burgués, J. F. (1988). Matériaux pour construire la géométrie. Madrid: synthèse.
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  3. Coxeter, H. (1971). Principes fondamentaux de la géométrie. Mexique: Limusa-Wiley.
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