Réduction de termes similaires (avec exercices résolus)

Le réduction de termes similaires c'est une méthode qui simplifie les expressions algébriques. Dans une expression algébrique, les termes similaires sont ceux qui ont la même variable; c'est-à-dire qu'ils ont les mêmes inconnues représentées par une lettre et qu'ils ont les mêmes exposants.

Dans certains cas, les polynômes sont étendus et, pour parvenir à une solution, vous devez essayer de réduire l'expression. Cela est possible quand il existe des termes similaires, qui peuvent être combinés en appliquant des opérations et des propriétés algébriques telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Index

• 1 explication
• 2 Comment réduire les termes similaires?
  • 2.1 Exemple
  • 2.2 Réduction des termes similaires avec des signes égaux
  • 2.3 Réduction des termes similaires avec des signes différents
• 3 Réduction des termes similaires dans les opérations
  • 3.1 en sommes
  • 3.2 En soustraction
  • 3.3 en multiplications
  • 3.4 en divisions
• 4 exercices résolus
  • 4.1 Premier exercice
  • 4.2 Deuxième exercice
• 5 références

Explication

Des termes similaires sont formés par les mêmes variables avec les mêmes exposants et, dans certains cas, ils ne sont différenciés que par leurs coefficients numériques.

Des termes similaires sont également considérés comme ceux qui n’ont pas de variables; c'est-à-dire les termes qui n'ont que des constantes. Ainsi, par exemple, les termes suivants sont similaires:

- 6x² - 3x². Les deux termes ont la même variable x².

- 4a²b³ + 2a²b³. Les deux termes ont les mêmes variables à²b³.

- 7 - 6. Les termes sont constants.

Les termes qui ont les mêmes variables mais avec des exposants différents sont appelés termes non similaires, tels que:

- 9a²b + 5ab. Les variables ont des exposants différents.

- 5x + y. Les variables sont différentes.

- b - 8. Un terme a une variable, l'autre est une constante.

Identifiant les termes similaires qui forment un polynôme, ceux-ci peuvent être réduits à un, en combinant tous ceux qui ont les mêmes variables avec des exposants égaux. De cette manière, l'expression est simplifiée en diminuant le nombre de termes qui la composent et le calcul de sa solution est facilité.

Comment faire une réduction de termes similaires?

La réduction des termes similaires se fait en appliquant la propriété associative de l'addition et la propriété distributive du produit. En utilisant la procédure suivante, une réduction des termes peut être effectuée:

- D'abord, les termes similaires sont regroupés.

- Les coefficients (les nombres qui accompagnent les variables) des termes similaires sont ajoutés ou soustraits, et les propriétés associatives, commutatives ou distributives sont appliquées, le cas échéant.

- Après l'écriture des nouveaux termes obtenus, placez devant eux le signe résultant de l'opération.

Exemple

Réduisez les termes de l'expression suivante: 10x + 3y + 4x + 5y.

Solution

Les termes sont d'abord triés pour regrouper ceux qui sont similaires, en appliquant la propriété commutative:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Ensuite, la propriété distributive est appliquée et les coefficients qui accompagnent les variables sont ajoutés pour obtenir la réduction des termes:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) et

= 14x + 8y.

Pour réduire les termes similaires, il est important de prendre en compte les signes indiquant qu'ils ont les coefficients qui accompagnent la variable. Il y a trois cas possibles:

Réduction des termes similaires avec des signes égaux

Dans ce cas, les coefficients sont ajoutés et avant le résultat, le signe des termes est placé. Par conséquent, s'ils sont positifs, les termes qui en résultent seront positifs. dans le cas où les termes sont négatifs, le résultat aura le signe (-) accompagné de la variable. Par exemple:

a) 22ab² + 12ab² = 34 ab².

b) -18x³ - 9x³ - 6 = -27x³ - 6.

Réduction de termes similaires csur différents signes

Dans ce cas, les coefficients sont soustraits et, devant le résultat, le signe du plus grand coefficient est placé. Par exemple:

a) 15x²et - 4x²et + 6x²et - 11x²et

= (15x²et + 6x²y) + (- 4x²et - 11x²y)

= 21x²y + (-15x²y)

= 21x²et - 15x²et

= 6x²et

b) -5a³b + 3 a³b - 4a³b + a³b

= (3 a³b + a³b) + (-5a³b - 4a³b)

= 4a³b - 9a³b

= -5 a³b.

De cette manière, pour réduire les termes similaires qui ont des signes différents, un seul terme additif est formé avec tous ceux ayant un signe positif (+), les coefficients sont ajoutés et le résultat est accompagné des variables.

De la même façon qu'un terme soustractif est formé, avec tous les termes qui ont un signe négatif (-), les coefficients sont ajoutés et le résultat est accompagné des variables.

Finalement, les sommes des deux termes formés sont soustraites et le résultat du signe du majeur est placé.

Réduction de termes similaires dans les opérations

La réduction de termes similaires est une opération d'algèbre, qui peut être appliquée en plus, soustraction, multiplication et division algébrique.

Dans les sommes

Lorsque vous avez plusieurs polynômes avec des termes similaires, afin de les réduire, vous commandez les termes de chaque polynôme en conservant ses signes, puis vous écrivez les uns après les autres et réduisez les termes similaires. Par exemple, nous avons les polynômes suivants:

3x - 4xy + 7x²et + 5xy².

- 6x²et - 2xy + 9 xy² - 8x

En soustraction

Pour soustraire un polynôme à un autre, le diminutif est écrit et le sous-titre avec ses signes modifiés, puis la réduction des termes similaires est faite. Par exemple:

5a³ - 3ab² + 3b²c

6ab² + 2a³ - 8b²c

Ainsi, les polynômes sont résumés en 3a³ - 9ab² + 11b²c.

En multiplications

Dans un produit de polynômes, multiplier les termes qui composent le multiplicande pour chaque terme qui forme le multiplicateur, en considérant que les signes de multiplication restent les mêmes s'ils sont positifs.

Ils ne seront modifiés que multipliés par un terme négatif. c'est-à-dire que lorsque deux termes du même signe sont multipliés, le résultat sera positif (+) et lorsqu'ils auront des signes différents, le résultat sera négatif (-).

Par exemple:

a) (a + b) _* (a + b)

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b².

b) (a + b) _* (a - b)

= a² - ab + ab - b²

= a² - b².

c) (a - b) _* (a - b)

= a² - ab - ab + b²

= a² - 2ab + b².

En divisions

Lorsque vous voulez réduire deux polynômes à travers une division, vous devez trouver un troisième polynôme qui, multiplié par le second (diviseur), donne le premier polynôme (dividende).

Pour cela, les termes du dividende et du diviseur doivent être classés de gauche à droite afin que les variables soient dans le même ordre.

Ensuite, la division est faite à partir du premier terme à gauche du dividende entre le premier à gauche du diviseur, en tenant toujours compte des signes de chaque terme.

Par exemple, réduire le polynôme: 10x⁴ - 48x³et + 51x²et² + 4xy³ - 15 ans⁴ la divisant entre le polynôme: -5x² + 4xy + 3y².

Le polynôme résultant est -2x² + 8xy - 5 ans².

Exercices résolus

Premier exercice

Réduit les termes de l'expression algébrique donnée:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab - 9 + 4a² - 13 ab.

Solution

La propriété commutative de la somme est appliquée, regroupant les termes ayant les mêmes variables:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15a² +6a² + 4a²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Ensuite, la propriété distributive de la multiplication est appliquée:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= (15 + 6 + 4) a² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Enfin, ils sont simplifiés en ajoutant et en soustrayant les coefficients de chaque terme:

15a² - 8ab + 6a² - 6ab + 9 + 4a² - 13

= 25a² - 14ab - 4.

Deuxième exercice

Simplifiez le produit des polynômes suivants:

(8x³ + 7xy²)_*(8x³ - 7 xy²).

Solution

Multipliez chaque terme du premier polynôme par le second, en tenant compte du fait que les signes des termes sont différents; par conséquent, le résultat de sa multiplication sera négatif, tout comme les lois des exposants doivent également être appliquées.

(8x³ + 7xy²) _* (8x³ - 7xy²)

= 64 x⁶ - 56 x³_* xy² + 56 x³_* xy² - 49 x²et⁴

= 64 x⁶ - 49 x²et⁴.

Références

1. Angel, A. R. (2007). Algèbre élémentaire Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algèbre La Havane: Culture.
3. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algèbre élémentaire et intermédiaire: une approche combinée. Floride: Cengage Learning.
4. Smith, S.A. (2000). Algèbre Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Algèbre et ses applications.