Raisonnement algébrique (avec exercices résolus)



Le raisonnement algébrique il consiste essentiellement à communiquer un argument mathématique à travers un langage spécial, ce qui le rend plus rigoureux et général, en utilisant des variables algébriques et des opérations définies entre elles. Une caractéristique des mathématiques est la rigueur logique et la tendance abstraite utilisée dans ses arguments.

Pour cela, il est nécessaire de connaître la "grammaire" correcte à utiliser dans cette écriture. De plus, le raisonnement algébrique évite les ambiguïtés dans la justification d'un argument mathématique, ce qui est essentiel pour démontrer tout résultat en mathématiques.

Index

  • 1 variables algébriques
  • 2 expressions algébriques
    • 2.1 Exemples
  • 3 exercices résolus
    • 3.1 Premier exercice
    • 3.2 Deuxième exercice
    • 3.3 Troisième exercice
  • 4 références

Variables algébriques

Une variable algébrique est simplement une variable (une lettre ou un symbole) représentant un objet mathématique donné.

Par exemple, les lettres x, y, z sont généralement utilisées pour représenter les nombres qui satisfont une équation donnée; les lettres p, q r, pour représenter des formules propositionnelles (ou leurs majuscules respectives pour représenter des propositions spécifiques); et les lettres A, B, X, etc., pour représenter les ensembles.

Le terme "variable" souligne que l'objet en question n'est pas fixe mais varie. Tel est le cas d'une équation dans laquelle des variables sont utilisées pour déterminer les solutions qui sont en principe inconnues.

D'une manière générale, une variable algébrique peut être considérée comme une lettre représentant un objet, qu'il soit fixe ou non.

Tout comme les variables algébriques sont utilisées pour représenter des objets mathématiques, nous pouvons également considérer des symboles pour représenter des opérations mathématiques.

Par exemple, le symbole "+" représente l'opération "somme". D'autres exemples sont les différentes notations symboliques du connectif logique dans le cas des propositions et des ensembles.

Expressions algébriques

Une expression algébrique est une combinaison de variables algébriques au moyen d'opérations préalablement définies. Des exemples de ceci sont les opérations de base de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division entre les nombres, ou du connectif logique dans les propositions et les ensembles.

Le raisonnement algébrique est responsable de l’expression d’un raisonnement ou d’un argument mathématique au moyen d’expressions algébriques.

Cette forme d'expression permet de simplifier et d'abréger l'écriture, car elle fait appel à des notations symboliques et permet de mieux comprendre le raisonnement, en le présentant de manière plus claire et plus précise.

Des exemples

Voyons quelques exemples montrant comment le raisonnement algébrique est utilisé. Très régulièrement, il est utilisé pour résoudre des problèmes de logique et de raisonnement, comme nous le verrons bientôt.

Considérons la proposition mathématique bien connue "la somme de deux nombres est commutative". Voyons comment nous pouvons exprimer cette proposition algébriquement: étant donné deux nombres "a" et "b", ce que signifie cette proposition est que a + b = b + a.

Le raisonnement utilisé pour interpréter la proposition initiale et l'exprimer en termes algébriques est un raisonnement algébrique.

On pourrait aussi mentionner la fameuse expression «l’ordre des facteurs ne modifie pas le produit», qui renvoie au fait que le produit de deux nombres est également commutatif et algébriquement exprimé en axb = bxa.

De même, les propriétés associatives et distributives de la somme et du produit peuvent être exprimées (et sont en fait exprimées) algébriquement, dans lesquelles la soustraction et la division sont incluses.

Ce type de raisonnement couvre un langage très large et est utilisé dans des contextes multiples et différents. Selon chaque cas, dans ces contextes, nous devons reconnaître les motifs, interpréter les déclarations et généraliser et formaliser leur expression en termes algébriques, en fournissant un raisonnement valable et séquentiel.

Exercices résolus

Voici quelques problèmes de logique que nous allons résoudre en utilisant un raisonnement algébrique:

Premier exercice

Quel est le nombre qui, en supprimant la moitié, est égal à un?

Solution

Pour résoudre ce type d'exercices, il est très utile de représenter la valeur que nous voulons déterminer au moyen d'une variable. Dans ce cas, nous voulons trouver un nombre qui, en en supprimant la moitié, donne le numéro un. Noter par x le nombre recherché.

"Supprimer la moitié" d'un nombre implique de le diviser par 2. Donc, ce qui précède peut être exprimé algébriquement sous la forme x / 2 = 1, et le problème est réduit à résoudre une équation, dans ce cas linéaire et très simple à résoudre. Effacer x nous obtenons que la solution est x = 2.

En conclusion, 2 est le nombre qui en enlevant la moitié est égal à 1.

Deuxième exercice

Combien de minutes sont manquantes à minuit si 10 minutes manquaient 5/3 de ce qui manque maintenant?

Solution

Noter "z" le nombre de minutes restantes avant minuit (toute autre lettre peut être utilisée). C'est à dire que tout à l'heure, il ne reste plus que "z" à minuit.Cela implique que 10 minutes manquaient "z + 10" minutes à minuit, ce qui correspond à 5/3 de ce qui manque maintenant; c'est-à-dire (5/3) z.

Ensuite, le problème est réduit pour résoudre l'équation z + 10 = (5/3) z. En multipliant les deux côtés de l’égalité par 3, l’équation 3z + 30 = 5z est obtenue.

Or, en regroupant la variable "z" d'un côté de l'égalité, on obtient 2z = 15, ce qui implique que z = 15.

Par conséquent, 15 minutes restent jusqu'à minuit.

Troisième exercice

Dans une tribu qui pratique le troc, il y a ces équivalences:

- Une lance et un collier sont échangés contre un bouclier.

- Une lance équivaut à un couteau et à un collier.

- Deux boucliers sont échangés contre trois unités de couteaux.

Combien de colliers est un équivalent de lance?

Solution

Sean:

Co = un collier

L = une lance

E = un bouclier

Cu = un couteau

Ensuite, nous avons les relations suivantes:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Le problème est donc réduit à la résolution d'un système d'équations. En dépit d'avoir plus d'inconnues que d'équations, ce système peut être résolu, car ils ne demandent pas une solution spécifique mais une des variables dépendant d'une autre. Ce que nous devrions faire est d'exprimer "Co" en fonction de "L" exclusivement.

A partir de la seconde équation, nous avons que Cu = L - Co. En substituant dans le troisième on obtient que E = (3L - 3Co) / 2. Finalement, en substituant la première équation et en la simplifiant, on obtient que 5Co = L; c'est-à-dire qu'une lance équivaut à cinq colliers.

Références

  1. Billstein, R., Libeskind, S. et Lott, J. W. (2013). Mathématiques: une approche de résolution de problèmes pour les enseignants de l'éducation de base. López Mateos Editores.
  2. Sources, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul Lulu.com
  3. García Rua, J., et Martínez Sánchez, J. M. (1997). Mathématiques élémentaires de base. Ministère de l'éducation.
  4. Rees, P. K. (1986). Algèbre Reverte
  5. Rock, N. M. (2006). Algèbre I Is Easy! Si facile Team Rock Press.
  6. Smith, S.A. (2000). Algèbre Pearson Education.
  7. Szecsei, D. (2006). Mathématiques de base et pré-algèbre (éd. illustré). Presse professionnelle