Que sont les triangles obliques? (avec exercices résolus)

Le triangles obliques sont ces triangles qui ne sont pas des rectangles. C'est-à-dire des triangles tels qu'aucun de ses angles n'est un angle droit (sa mesure est de 90º).

N'ayant pas d'angle droit, le théorème de Pythagore ne peut pas être appliqué à ces triangles.

Par conséquent, pour connaître les données dans un triangle oblique, il est nécessaire d'utiliser d'autres formules.

Les formules nécessaires pour résoudre un triangle oblique sont les lois dites des sinus et des cosinus, qui seront décrites plus loin.

En plus de ces lois, le fait que la somme des angles internes d’un triangle soit égale à 180 ° peut toujours être utilisée.

Triangles obliques

Comme il a été dit au début, un triangle oblique est un triangle tel qu'aucun de ses angles ne mesure 90º.

Le problème de trouver les longueurs des côtés d'un triangle isocèle et de trouver des angles de mesures, est appelé la « résolution des triangles obliques ».

Un fait important dans le travail avec les triangles est que la somme des trois angles internes d’un triangle est égale à 180º. Ceci est un résultat général, donc pour les triangles obliques, il peut aussi être appliqué.

Lois des seins et des cosinus

Étant donné un triangle ABC avec des côtés de longueur "a", "b" et "c":

- La loi des sinus indique que a / sin (a) = b / sin (B) = c / sin (C), où A, B et C sont à l'opposé de "a", "b" et « angles c "Respectivement.

- La loi des cosinus stipule que: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). De manière équivalente, les formules suivantes peuvent être utilisées:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) ou a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

En utilisant ces formules, vous pouvez calculer les données d'un triangle oblique.

Des exercices

Vous trouverez ci-dessous quelques exercices pour trouver les données manquantes des triangles, à partir de certaines données fournies.

Premier exercice

Étant donné un triangle ABC tel que A = 45º, B = 60º et a = 12cm, calculez les autres données du triangle.

Solution

En utilisant la somme des angles internes d’un triangle égale à 180º, vous devez

C = 180º-45º-60º = 75º.

Les trois angles sont déjà connus. Ensuite, utilisez la loi des seins pour calculer les deux côtés qui manquent.

Les équations qui se posent sont 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

De la première égalité, vous pouvez effacer "b" et obtenir cela

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Vous pouvez également effacer "c" et obtenir cela

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Deuxième exercice

Étant donné le triangle ABC tel que A = 60º, C = 75º et b = 10cm, calculez les autres données du triangle.

Solution

Comme dans l'exercice précédent, B = 180º-60º-75º = 45º. En outre, en utilisant la loi du sinus a ce a / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), d'où il résulte que a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5√6 ≈ 12.247 cm et c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Troisième exercice

Étant donné le triangle ABC tel que a = 10cm, b = 15cm et C = 80º, calculez les autres données du triangle.

Solution

Dans cet exercice, un seul angle est connu, donc vous ne pouvez pas commencer comme vous l’avez fait dans les deux exercices précédents. En outre, la loi des seins ne peut être appliquée car aucune équation ne peut être résolue.

Par conséquent, nous procédons à l'application de la loi des cosinus. C'est alors que

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

de sorte que c ≈ 16,51 cm. Maintenant, connaissant les 3 côtés, la loi des seins est utilisée et vous obtenez

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Par conséquent, la compensation B est sin (B) = 15 * sin (80) / 16,51 ≈ 0,894, ce qui signifie que B ≈ 63.38º.

Maintenant, on peut obtenir que A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Quatrième exercice

Les côtés d'un triangle oblique sont a = 5cm, b = 3cm et c = 7cm. Calculez les angles du triangle.

Solution

Encore une fois, la loi des seins ne peut être appliquée directement car aucune équation ne servirait à obtenir la valeur des angles.

En utilisant la loi du cosinus doit être c² = a² + b² - 2ab cos (C), où la compensation doit cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 et donc C = 120º.

Maintenant, si vous pouvez appliquer la loi de Sines et obtenir 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120e), où vous pouvez effacer B et que sans (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, de sorte que B = 21.79º.

Enfin, le dernier angle est calculé en utilisant A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

Références

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