Que sont les limites trigonométriques? (avec des exercices résolus)

Le limites trigonométriques ce sont des limites de fonctions telles que ces fonctions sont formées par des fonctions trigonométriques.

Deux définitions doivent être connues pour comprendre comment le calcul d'une limite trigonométrique est effectué.

Ces définitions sont:

- Limite d'une fonction "f" quand "x" tend à "b": elle consiste à calculer la valeur à laquelle f (x) s'approche comme "x" s'approche de "b", sans atteindre "b" "

- Fonctions trigonométriques: les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente, désignées respectivement par sin (x), cos (x) et tan (x).

Les autres fonctions trigonométriques sont obtenues à partir des trois fonctions mentionnées ci-dessus.

Limites de fonctions

Pour clarifier le concept de limite d'une fonction, nous allons montrer quelques exemples avec des fonctions simples.

- La limite de f (x) = 3 lorsque "x" tend à "8" est égale à "3", car la fonction est toujours constante. Quelle que soit la valeur de "x", la valeur de f (x) sera toujours "3".

- La limite de f (x) = x-2 lorsque "x" tend à "6" est "4". Depuis que "x" s'approche de "6" alors "x-2" approche "6-2 = 4".

- La limite de g (x) = x² lorsque "x" tend à "3" est égale à 9, puisque lorsque "x" approche "3" alors "x²" approche "3² = 9" .

Comme on peut le voir dans les exemples précédents, calculer une limite consiste à évaluer la valeur à laquelle "x" tend dans la fonction et le résultat sera la valeur de la limite, bien que cela ne soit vrai que pour les fonctions continues.

Y a-t-il des limites plus compliquées?

La réponse est oui. Les exemples ci-dessus sont les exemples les plus simples de limites. Dans les livres de calcul, les principaux exercices de limites sont ceux qui génèrent une indétermination du type 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 et (∞) ^ 0.

Ces expressions sont appelées indéterminations car ce sont des expressions qui, mathématiquement, n'ont aucune signification.

En outre, en fonction des fonctions impliquées dans la limite initiale, le résultat obtenu lors de la résolution des indéterminations peut être différent dans chaque cas.

Exemples de limites trigonométriques simples

Pour résoudre des limites, il est toujours très utile de connaître les graphiques des fonctions impliquées. Les graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente sont présentés ci-dessous.

Voici quelques exemples de limites trigonométriques simples:

- Calculer la limite de sin (x) lorsque "x" tend vers "0".

Lorsque vous visualisez le graphique, vous pouvez voir que si "x" approche "0" (à la fois à gauche et à droite), le graphe sinusoïdal approche également de "0". Par conséquent, la limite de sin (x) lorsque "x" tend à "0" est "0".

- Calculez la limite de cos (x) lorsque "x" tend vers "0".

En observant le graphique en cosinus, on voit que lorsque "x" est proche de "0", le graphique en cosinus est proche de "1". Cela implique que la limite de cos (x) lorsque "x" tend à "0" est égale à "1".

Une limite peut exister (être un nombre), comme dans les exemples précédents, mais il peut également arriver qu’elle n’existe pas comme le montre l’exemple suivant.

- La limite de tan (x) lorsque "x" tend à "Π / 2" à gauche est égale à "+ ∞", comme on peut le voir sur le graphique. Par contre, la limite de tan (x) lorsque "x" tend à "-Π / 2" à droite est égale à "-∞".

Identités des limites trigonométriques

Deux identités très utiles lors du calcul des limites trigonométriques sont:

- La limite de "sin (x) / x" lorsque "x" tend à "0" est égale à "1".

- La limite de "(1-cos (x)) / x" lorsque "x tend à" 0 "est égale à" 0 ".

Ces identités sont très souvent utilisées lorsque vous êtes indéterminé.

Exercices résolus

Résolvez les limites suivantes en utilisant les identités décrites ci-dessus.

- Calculer la limite de "f (x) = sin (3x) / x" lorsque "x" tend vers "0".

Si la fonction "f" est évaluée dans "0", une indétermination de type 0/0 sera obtenue. Par conséquent, nous devons essayer de résoudre cette indétermination en utilisant les identités décrites.

La seule différence entre cette limite et cette identité est le numéro 3 qui apparaît dans la fonction sinus. Pour appliquer l'identité, la fonction "f (x)" doit être réécrite de la manière suivante "3 * (sin (3x) / 3x)".Maintenant, l'argument du sinus et le dénominateur sont égaux.

Donc, quand "x" tend vers "0", l'utilisation de l'identité donne "3 * 1 = 3". Par conséquent, la limite de f (x) lorsque "x" tend à "0" est égale à "3".

- Calculer la limite de "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" lorsque "x" tend vers "0".

Lorsque "x = 0" est substitué en g (x), une indétermination du type ∞-∞ est obtenue. Pour le résoudre, les fractions sont soustraites, ce qui donne le résultat "(1-cos (x)) / x".

Maintenant, lorsque l'on applique la deuxième identité trigonométrique, la limite de g (x) lorsque "x" tend à "0" est égale à 0.

- Calculer la limite de "h (x) = 4tan (5x) / 5x" lorsque "x" tend vers "0".

Là encore, si h (x) est évalué dans "0", une indétermination de type 0/0 sera obtenue.

Réécrire le bronzage (5x) comme sin (5x) / cos (5x) donne h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Utiliser la limite de 4 / cos (x) lorsque "x" tend à "0" est égal à "4/1 = 4" et la première identité trigonométrique est obtenue que la limite de h (x) lorsque "x" tend un "0" est égal à "1 * 4 = 4".

Observation

Les limites trigonométriques ne sont pas toujours faciles à résoudre. Dans cet article, seuls des exemples de base ont été présentés.

Références

1. Fleming, W. et Varberg, D. E. (1989). Mathématiques Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. et Varberg, D. E. (1989). Précalcul Mathématiques: une approche de résolution de problèmes (2, éd. Illustrée). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. et Varberg, D. (1991). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Précalcul (8 éd.). Apprentissage du cengage
5. Leal, J.M. et Viloria, N.G. (2005). Géométrie analytique plate. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Précalcul Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. et Rigdon, S. E. (2007). Calcul (Neuvième éd.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Calcul différentiel avec fonctions transcendantales précoces pour la science et l'ingénierie (Deuxième édition éd.). Hypoténuse.
9. Scott, C. A. (2009). Géométrie des plans cartésiens, partie: Coniques analytiques (1907) (édition réimprimée). Source de foudre.
10. Sullivan, M. (1997). Précalcul Pearson Education.