Quelles sont les équations simultanées? (avec exercices résolus)

Le équations simultanées sont les équations qui doivent être remplies en même temps. Par conséquent, pour avoir des équations simultanées, il faut avoir plusieurs équations.

Lorsque vous avez deux équations différentes ou plus, qui doivent avoir la même solution (ou les mêmes solutions), vous dites que vous avez un système d'équations ou vous dites également que vous avez des équations simultanées.

Lorsque vous avez des équations simultanées, il peut arriver qu’elles n’aient pas de solutions communes ou qu’elles aient une quantité finie ou une quantité infinie.

Équations simultanées

Étant donné deux équations différentes Eq1 et Eq2, nous avons que le système de ces deux équations est appelé des équations simultanées.

Les équations simultanées satisfont que si S est une solution de Eq1 alors S est aussi une solution de Eq2 et vice versa

Caractéristiques

En ce qui concerne un système d'équations simultanées, vous pouvez avoir 2 équations, 3 équations ou N équations.

Les méthodes les plus courantes pour résoudre des équations simultanées sont les suivantes: substitution, égalisation et réduction. Il existe également une autre méthode appelée règle de Cramer, très utile pour les systèmes comportant plus de deux équations simultanées.

Un exemple d'équations simultanées est le système

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

On peut noter que x = 0, y = 2 est une solution de Eq1 mais ce n’est pas une solution de Eq2.

La seule solution commune aux deux équations est x = 1, y = 1. C'est-à-dire que x = 1, y = 1 est la solution du système d'équations simultanées.

Exercices résolus

Ensuite, procédez à la résolution du système d’équations simultanées illustré ci-dessus, grâce aux 3 méthodes mentionnées.

Premier exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de substitution.

Solution

La méthode de substitution consiste à effacer l’une des inconnues de l’une des équations puis à la remplacer dans l’autre équation. Dans ce cas particulier, vous pouvez effacer "y" de Eq1 et vous obtenez que y = 2-x.

En substituant cette valeur de "y" dans Eq2, on obtient 2x- (2-x) = 1. On obtient donc que 3x-2 = 1, soit x = 1.

Alors, puisque la valeur de x est connue, elle est substituée dans "y" et y = 2-1 = 1 est obtenu.

Par conséquent, la seule solution du système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Deuxième exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode d'égalisation.

Solution

La méthode d’égalisation consiste à effacer la même question des deux équations puis à faire correspondre les équations résultantes.

En effaçant "x" des deux équations, on obtient que x = 2-y, et que x = (1 + y) / 2. Maintenant, ces deux équations sont assimilées et nous obtenons 2-y = (1 + y) / 2, d'où il ressort que 4-2y = 1 + y.

Grouper l'inconnu "y" du même côté donne comme résultat y = 1. Maintenant que nous savons "et" nous continuons à trouver la valeur de "x". En substituant y = 1, on obtient que x = 2-1 = 1.

Par conséquent, la solution commune entre les équations Eq1 et Eq2 est x = 1, y = 1.

Troisième exercice

Résoudre le système d'équations Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 en utilisant la méthode de réduction.

Solution

La méthode de réduction consiste à multiplier les équations données par les coefficients appropriés, de sorte que lors de l'ajout de ces équations, l'une des variables est annulée.

Dans cet exemple particulier, il n'est pas nécessaire de multiplier une équation par un coefficient, il suffit de les ajouter ensemble. En ajoutant Eq1 plus Eq2, on obtient que 3x = 3, d’où on obtient que x = 1.

En évaluant x = 1 dans Eq1, nous obtenons que 1 + y = 2, d’où il ressort que y = 1.

Par conséquent, x = 1, y = 1 est la seule solution des équations simultanées Eq1 et Eq2.

Quatrième exercice

Résoudre le système d'équations simultanées Eq1: 2x-3y = 8 et Eq2: 4x-3y = 12.

Solution

Dans cet exercice, aucune méthode particulière n'est requise. Par conséquent, la méthode la plus confortable pour chaque lecteur peut être appliquée.

Dans ce cas, la méthode de réduction sera utilisée. En multipliant Eq1 par -2, on obtient l'équation Eq3: -4x + 6y = -16. Maintenant, ajouter Eq3 et Eq2 donne 3y = -4, donc y = -4 / 3.

Maintenant, lorsque nous évaluons y = -4 / 3 dans Eq1, nous obtenons que 2x-3 (-4/3) = 8, donc 2x + 4 = 8, donc x = 2.

En conclusion, la seule solution du système d'équations simultanées Eq1 et Eq2 est x = 2, y = -4 / 3.

Observation

Les méthodes décrites dans cet article peuvent être appliquées à des systèmes comportant plus de deux équations simultanées.

Plus il y a d'équations et d'inconnues, plus la procédure pour résoudre le système est complexe.

Toute méthode de résolution de systèmes d'équations donnera les mêmes solutions, c'est-à-dire que les solutions ne dépendent pas de la méthode appliquée.

Références

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