Quel est le domaine et le condominium d'une fonction? (Avec des exemples résolus)

Les concepts de domaine et compteur domaine d'une fonction ils sont généralement enseignés dans les cours de calcul enseignés au début des carrières universitaires.

Avant de définir le domaine et le domaine du compteur, vous devez savoir ce qu’est une fonction. Une fonction f est une loi de correspondance faite entre les éléments de deux ensembles.

L'ensemble des éléments choisis s'appelle le domaine de la fonction, et l'ensemble auquel ces éléments sont envoyés via f s'appelle un domaine de compteur.

En mathématiques, une fonction de domaine A et de domaine de compteur B est désignée par l'expression f: A → B.

L'expression ci-dessus indique que les éléments de l'ensemble A sont envoyés à l'ensemble B suivant la loi de correspondance f.

Une fonction assigne à chaque élément de l'ensemble A un seul élément de l'ensemble B.

Domaine et domaine de compteur

Étant donné une fonction réelle d'une variable réelle f (x), nous avons que le domaine de la fonction sera tous ces nombres réels tels que, évalué en f, le résultat est un nombre réel.

Généralement, le contre-domaine d'une fonction est l'ensemble des nombres réels R. Le compteur est également appelé ensemble d'arrivée ou codomaine de la fonction f.

La contre-fonction d'une fonction est-elle toujours R?

Non. Tant que la fonction n’est pas étudiée en détail, l’ensemble des nombres réels R est généralement considéré comme un contre-ordre.

Mais une fois la fonction étudiée, un ensemble plus approprié peut être considéré comme un domaine de compteur, qui sera un sous-ensemble de R.

L'ensemble approprié mentionné dans le paragraphe précédent correspond à l'image de la fonction.

La définition de l'image ou de la plage d'une fonction f fait référence à toutes les valeurs issues de l'évaluation d'un élément du domaine dans f.

Des exemples

Les exemples suivants illustrent comment calculer le domaine d'une fonction et son image.

Exemple 1

Soit f une fonction réelle définie par f (x) = 2.

Le domaine de f sont tous des nombres réels tels que, évalué en f, le résultat est un nombre réel. Le domaine de compteur pour le moment est égal à R.

Puisque la fonction donnée est constante (toujours égale à 2), le nombre réel choisi importe peu, car lors de son évaluation en f, le résultat sera toujours égal à 2, ce qui est un nombre réel.

Par conséquent, le domaine de la fonction donnée sont tous des nombres réels. c'est-à-dire, A = R.

Maintenant que l'on sait que le résultat de la fonction est toujours égal à 2, on a que l'image de la fonction est seulement le numéro 2, donc le contre-domaine de la fonction peut être redéfini comme B = Img (f) = {2}

Par conséquent, f: R → {2}.

Exemple 2

Soit g une fonction réelle définie par g (x) = √x.

Alors que l'image de g n'est pas connue, le domaine de compteur de g est B = R.

Avec cette fonction, vous devez tenir compte du fait que les racines carrées ne sont définies que pour les nombres non négatifs. c'est-à-dire pour des nombres supérieurs ou égaux à zéro. Par exemple, √-1 n'est pas un nombre réel.

Par conséquent, le domaine de la fonction g doit être tous des nombres supérieurs ou égaux à zéro; c'est-à-dire x ≥ 0.

Par conséquent, A = [0, + ∞].

Pour calculer l'intervalle, il convient de noter que tout résultat de g (x), qui est une racine carrée, sera toujours supérieur ou égal à zéro. C'est-à-dire, B = [0, + ∞].

En conclusion, g: [0, + ∞) → [0, + ∞].

Exemple 3

Si on a la fonction h (x) = 1 / (x-1), on a que cette fonction n'est pas définie pour x = 1, puisque dans le dénominateur on obtiendrait zéro et la division par zéro n'est pas définie.

Par contre, pour toute autre valeur réelle, le résultat sera un nombre réel. Par conséquent, le domaine est tous réel sauf un; c'est-à-dire, A = R \ {1}.

De la même manière, on peut observer que la seule valeur qui ne peut être obtenue en résultat est 0, car pour une fraction égale à zéro, le numérateur doit être nul.

Par conséquent, l'image de la fonction est l'ensemble de tous les réels sauf zéro, elle est donc considérée comme un domaine de compteur B = R \ {0}.

En conclusion, h: R \ {1} → R \ {0}.

Observations

Le domaine et l'image ne doivent pas nécessairement être identiques, comme le montrent les exemples 1 et 3.

Lorsqu'une fonction est tracée sur le plan cartésien, le domaine est représenté par l'axe X et le domaine du compteur ou le rang est représenté par l'axe Y.

Références

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