Explication des produits notables et exercices résolus

Le produits remarquables ce sont des opérations algébriques, où s'expriment des multiplications de polynômes, qui n'ont pas besoin d'être résolues de manière traditionnelle, mais à l'aide de certaines règles, vous pouvez en trouver les résultats.

Les polynômes sont multipliés par oui, donc ils peuvent avoir un grand nombre de termes et de variables. Pour raccourcir le processus, les règles des produits remarquables sont utilisées, ce qui permet de réaliser des multiplications sans avoir à passer par terme.

Index

• 1 Produits et exemples notables
  • 1.1 Binomial au carré
  • 1.2 Produit des binômes conjugués
  • 1.3 Produit de deux binômes à terme commun
  • 1.4 Polynôme carré
  • 1.5 Binomial au cube
  • 1.6 Cube de trinôme
• 2 exercices résolus pour des produits remarquables
  • 2.1 Exercice 1
  • 2.2 Exercice 2
• 3 références

Produits notables et exemples

Chaque produit remarquable est une formule résultant d’une factorisation, composée de polynômes de termes divers tels que des binômes ou des trinômes, appelés facteurs.

Les facteurs sont à la base d'un pouvoir et ont un exposant. Lorsque les facteurs se multiplient, les exposants doivent être ajoutés.

Il existe plusieurs formules de produits remarquables, certaines sont plus utilisées que d'autres, selon les polynômes, et sont les suivantes:

Binomial au carré

C'est la multiplication d'un binôme par lui-même, exprimé sous forme de pouvoir, où les termes sont ajoutés ou soustraits:

a. Binomial de somme au carré: est égal au carré du premier terme, plus le double du produit des termes, plus le carré du deuxième terme. Il s'exprime comme suit:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b)

La figure suivante montre comment le produit est développé conformément à la règle susmentionnée. Le résultat s'appelle le trinôme d'un carré parfait.

Exemple 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exemple 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 ab + 4b².

b. Binomial d'une soustraction au carré: la même règle s'applique au binôme d'une somme, mais seulement dans ce cas, le deuxième terme est négatif. Sa formule est la suivante:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² + 2a _* (-b) + (-b)²

(a - b)²   = a² - 2ab + b².

Exemple 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36

Produit de binômes conjugués

Deux binômes sont conjugués lorsque les deuxièmes termes de chacun ont des signes différents, c'est-à-dire que le premier est positif et celui du second négatif ou vice versa. Résoudre en levant chaque carré de monomère et soustraire. Sa formule est la suivante:

(a + b) _* (a - b)

Dans la figure suivante, le produit de deux binômes conjugués est développé, où il est observé que le résultat est une différence de carrés.

Exemple 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² 9b².

Produit de deux binômes à terme commun

C'est l'un des produits remarquables les plus complexes et les moins utilisés, car il s'agit d'une multiplication de deux binômes ayant un terme commun. La règle indique ce qui suit:

• Le carré du terme commun.
• De plus, ajoutez les termes qui ne sont pas courants, puis multipliez-les par le terme commun.
• Plus la somme de la multiplication des termes qui ne sont pas communs.

Il est représenté dans la formule: (x + a) _* (x + b) et il est développé comme indiqué dans l'image. Le résultat est un trinôme carré pas parfait.

Exemple 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54

Il est possible que le second terme (le terme différent) soit négatif et que sa formule soit la suivante: (x + a) _* (x - b).

Exemple 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x- 8

Il se peut aussi que les deux termes différents soient négatifs. Sa formule sera: (x - a) _* (x - b).

Exemple 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Polynôme carré

Dans ce cas, il y a plus de deux termes et pour le développer, chacun est quadrillé et ajouté avec deux fois la multiplication d'un terme avec un autre; sa formule est: (a + b + c)² et le résultat de l'opération est un trinôme carré.

Exemple 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2 ans)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4 ans² + 16z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial seau

C'est un produit complexe remarquable.Pour le développer, multipliez le binôme par son carré, de la manière suivante:

a. Pour le binôme au cube d'une somme:

• Le cube du premier terme, plus le triple du carré du premier terme par le second.
• Plus le triple du premier terme, par le second carré.
• Plus le cube du second terme.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Exemple 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Pour le binôme au cube d'une soustraction:

• Le cube du premier terme, moins le triple du carré du premier terme par le second.
• Plus le triple du premier terme, par le second carré.
• Sauf le cube du second terme.

(a - b)³ = (a - b) _* (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (a² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

(a - b)³ = un³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Exemple 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² + 75b - 125

Seau d'un trinôme

Il se développe en le multipliant par son carré. C’est un produit remarquable, car il ya trois termes au cube, plus trois fois au carré, multipliés par chacun des termes, plus six fois le produit des trois termes. Mieux vu:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Exemple 1

Exercices résolus de produits remarquables

Exercice 1

Développez le binôme suivant sur le cube: (4x - 6)³.

Solution

Rappelant qu'un binôme au cube est égal au premier terme élevé au cube, moins le triple du carré du premier terme par le second; plus le triple du premier terme, par le second carré, moins le cube du second terme.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36

Exercice 2

Développez le binôme suivant: (x + 3) (x + 8).

Solution

Il y a un binôme où il y a un terme commun, qui est x et le second terme est positif. Pour le développer, il suffit de placer le terme commun, plus la somme des termes qui ne sont pas communs (3 et 8), puis de les multiplier par le terme commun, plus la somme de la multiplication des termes peu communs.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24

Références

1. Angel, A. R. (2007). Algèbre élémentaire Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Royaume-Uni: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algèbre élémentaire et intermédiaire: une approche combinée. Floride: Cengage Learning.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.