Techniques de multiplication et exemples de principe multiplicatif



Le principe multiplicatif est une technique utilisée pour résoudre des problèmes de comptage afin de trouver la solution sans qu'il soit nécessaire de répertorier ses éléments. Il est également connu comme le principe fondamental de l'analyse combinatoire; il est basé sur une multiplication successive pour déterminer la manière dont un événement peut se produire.

Ce principe établit que, si une décision (d1) peut être prise de différentes manières et une autre décision (d2) peuvent être prises en compte de toutes les manières possibles de prendre des décisions1 et d2 sera égal à multiplier de n * m. Selon le principe, chaque décision est prise l'une après l'autre: nombre de manières = N1 * N2… * Nx des moyens

Index

  • 1 exemples
    • 1.1 Exemple 1
    • 1.2 Exemple 2
  • 2 techniques de comptage
    • 2.1 Principe d'addition
    • 2.2 Principe de permutation
    • 2.3 Principe de combinaison
  • 3 exercices résolus
    • 3.1 Exercice 1
    • 3.2 Exercice 2
  • 4 références

Des exemples

Exemple 1

Paula a l'intention d'aller au cinéma avec ses amis et de choisir les vêtements qu'elle portera, je sépare 3 blouses et 2 jupes. Combien de façons Paula peut-elle s'habiller?

Solution

Dans ce cas, Paula doit prendre deux décisions:

d1 = Choisir entre 3 blouses = n

d2 = Choisir entre 2 jupes = m

De cette façon, Paula a n * m décisions à prendre ou différentes manières de s'habiller.

n * m = 3* 2 = 6 décisions.

Le principe multiplicatif vient de la technique du diagramme en arbre, qui est un diagramme qui relie tous les résultats possibles, de sorte que chacun puisse se produire un nombre fini de fois.

Exemple 2

Mario avait très soif, alors il est allé à la boulangerie pour acheter un jus. Luis prend soin de lui et lui dit qu'il a deux tailles: grande et petite; et quatre saveurs: pomme, orange, citron et raisin. Combien de façons Mario peut-il choisir le jus?

Solution

Dans le diagramme, on peut observer que Mario a 8 manières différentes de choisir le jus et que, comme dans le principe multiplicatif, ce résultat est obtenu par la multiplication de n*m. La seule différence est que, grâce à ce diagramme, vous pouvez savoir comment Mario choisit le jus.

En revanche, lorsque le nombre de résultats possibles est très élevé, il est plus pratique d'utiliser le principe multiplicatif.

Techniques de comptage

Les techniques de comptage sont des méthodes utilisées pour effectuer un comptage direct, et donc pour connaître le nombre d'arrangements possibles que peuvent avoir les éléments d'un ensemble déterminé. Ces techniques reposent sur plusieurs principes:

Principe d'addition

Ce principe stipule que si deux événements m et n ne peuvent pas se produire en même temps, le nombre de façons dont le premier ou le deuxième événement peut se produire sera la somme de m + n:

Nombre de formes = m + n ... + x formes différentes.

Exemple

Antonio veut faire un voyage mais ne décide pas à quelle destination; Au South Tourism Agency, ils vous proposent une promotion pour voyager à New York ou à Las Vegas, tandis que l'agence de tourisme de l'Est vous recommande de voyager en France, en Italie ou en Espagne. Combien de choix de voyages différents Antonio propose-t-il?

Solution

Avec la South Tourism Agency, Antonio dispose de 2 alternatives (New York ou Las Vegas), tandis que la East Tourism Agency dispose de 3 options (France, Italie ou Espagne). Le nombre de différentes alternatives est le suivant:

Nombre d'alternatives = m + n = 2 + 3 = 5 alternatives.

Principe de permutation

Il s'agit de commander spécifiquement tout ou partie des éléments formant un ensemble, pour faciliter le comptage de tous les arrangements possibles pouvant être faits avec les éléments.

Le nombre de permutations de n éléments différents, pris en une seule fois, est représenté par:

nPn = n!

Exemple

Quatre amis veulent prendre une photo et veulent savoir combien de formulaires différents peuvent être commandés.

Solution

Vous voulez connaître l'ensemble de toutes les manières possibles de placer les 4 personnes pour prendre la photo. Donc, vous devez:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 formes différentes.

Si le nombre de permutations de n éléments disponibles est pris par des parties d'un ensemble formé de r éléments, il est représenté par:

nPr = n! ÷ (n-r)!

Exemple

Dans une salle de classe, vous avez 10 places. Si 4 étudiants assistent à la classe, de combien de manières différentes les étudiants peuvent-ils occuper les postes?

Solution

Le nombre total de chaises est de 10 et seules 4 seront utilisées. La formule donnée est utilisée pour déterminer le nombre de permutations:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 façons de combler les postes.

Il y a des cas où certains des éléments disponibles d'un ensemble sont répétés (ils sont identiques). Pour calculer le nombre d'arrangements prenant tous les éléments à la fois, la formule suivante est utilisée:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

Exemple

Combien de mots différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot "loup"?

Solution

Dans ce cas, nous avons 4 éléments (lettres) dont deux sont exactement les mêmes. En appliquant la formule donnée, nous savons combien de mots différents sont:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 mots différents.

Principe de combinaison

Il s'agit de fixer tout ou partie des éléments qui forment un ensemble sans ordre spécifique. Par exemple, si vous avez un tableau XYZ, il sera identique aux tableaux ZXY, YZX, ZYX, entre autres; En effet, même s’ils ne sont pas dans le même ordre, les éléments de chaque arrangement sont les mêmes.

Lorsque certains éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de la combinaison est donné par la formule suivante:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Exemple

Dans un magasin, ils vendent 5 types de chocolat différents. Combien de façons différentes pouvez-vous choisir 4 chocolats?

Solution

Dans ce cas, vous devez choisir 4 chocolats des 5 types vendus dans le magasin. L'ordre dans lequel ils sont choisis n'a pas d'importance et, en outre, un type de chocolat peut être choisi plus de deux fois. En appliquant la formule, vous devez:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 façons différentes de choisir 4 chocolats.

Lorsque tous les éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de la combinaison est donné par la formule suivante:

nCn = n!

Exercices résolus

Exercice 1

Vous avez une équipe de baseball avec 14 membres. De combien de manières peut-on attribuer 5 positions à un jeu?

Solution

L'ensemble est composé de 14 éléments et vous souhaitez attribuer 5 positions spécifiques; c'est-à-dire que l'ordre compte. La formule de permutation est appliquée lorsque n éléments disponibles sont pris par des parties d'un ensemble formé par r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Où n = 14 et r = 5. Il est substitué dans la formule:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 façons d'attribuer les 9 positions du jeu.

Exercice 2

Si une famille de neuf membres part en voyage et achète leurs billets avec des sièges consécutifs, combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir?

Solution

Il se compose de 9 éléments qui occuperont 9 sièges consécutivement.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 différentes manières de s'asseoir.

Références

  1. Hopkins, B. (2009). Ressources pour l'enseignement des mathématiques discrètes: projets en classe, modules d'histoire et articles.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Mathématiques discrètes Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Résolution de problèmes mathématique finis et discrets. Rédacteurs de l'association de recherche et d'éducation.
  4. Padró, F. C. (2001). Mathématiques discrètes Politèc. de Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Mathématiques pour les sciences appliquées. Reverte