Caractéristiques, types, superficie, volume

Un parallélépipède est un corps géométrique formé de six faces dont la caractéristique principale est que toutes leurs faces sont des parallélogrammes et que leurs faces opposées sont parallèles entre elles. C'est un polyèdre commun dans notre vie quotidienne, puisque nous pouvons le trouver dans des boîtes à chaussures, en forme de brique, en forme de micro-ondes, etc.

Étant un polyèdre, le parallélépipède renferme un volume fini et toutes ses faces sont plates. Il fait partie du groupe de prismes, qui sont ces polyèdres dans lesquels tous leurs sommets sont contenus dans deux plans parallèles.

Index

• 1 éléments du parallélépipède
  • 1.1 Visages
  • 1.2 Bords
  • 1.3 Sommet
  • 1.4 diagonale
  • 1.5 centre
• 2 Caractéristiques du parallélépipède
• 3 types
  • 3.1 Calcul des diagonales
• 4 zones
  • 4.1 Zone d'un orthohédron
  • 4.2 Zone d'un cube
  • 4.3 Superficie d'un rhomboèdre
  • 4.4 Zone d'un losange
• 5 Volume d'un parallélépipède
  • 5.1 parallélépipède parfait
• 6 Bibliographie

Eléments du parallélépipède

Visages

Ils sont chacun des régions formées par des parallélogrammes qui limitent le parallélépipède. Un parallélépipède a six faces, chacune ayant quatre faces adjacentes et une opposée. De plus, chaque face est parallèle à son opposé.

Bords

Ils sont le côté commun des deux visages. Au total, un parallélépipède a douze arêtes.

Sommet

C'est le point commun de trois faces adjacentes deux à deux. Un parallélépipède a huit sommets.

Diagonale

Étant donné deux côtés opposés d’un parallélépipède, on peut dessiner un segment de droite qui va du sommet d’une face au sommet opposé de l’autre.

Ce segment est appelé la diagonale du parallélépipède. Chaque parallélépipède a quatre diagonales.

centre

C'est le point d'intersection de toutes les diagonales.

Caractéristiques du parallélépipède

Comme nous l'avons mentionné, ce corps géométrique a douze arêtes, six faces et huit sommets.

Dans un parallélépipède, on peut identifier trois ensembles formés de quatre arêtes parallèles. De plus, les bords de ces ensembles remplissent également la propriété d'avoir la même longueur.

Une autre propriété que possèdent les parallélépipèdes est qu'ils sont convexes, c'est-à-dire que si l'on prend un couple quelconque de points appartenant à l'intérieur du parallélépipède, le segment déterminé par ladite paire de points sera également à l'intérieur du parallélépipède.

De plus, les parallélépipèdes étant des polyèdres convexes sont conformes au théorème d'Euler pour les polyèdres, ce qui nous donne une relation entre le nombre de faces, le nombre d'arêtes et le nombre de sommets. Cette relation est donnée sous la forme de l'équation suivante:

C + V = A + 2

Cette caractéristique est connue sous le nom de caractéristique d'Euler.

Où C est le nombre de faces, V le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes.

Types

Nous pouvons classer les parallélépipèdes en fonction de leurs faces, dans les types suivants:

Orthopédique

Ce sont les parallélépipèdes où leurs faces sont formées par six rectangles. Chaque rectangle est perpendiculaire à ceux qu'il partage bord. Ils sont les plus courants dans notre vie quotidienne, étant la manière habituelle des boîtes à chaussures et des briques.

Cube ou hexaèdre régulier

C'est un cas particulier du précédent, où chacune des faces est un carré.

Le cube fait également partie des corps géométriques appelés solides platoniques. Un solide platonique est un polyèdre convexe, de sorte que ses faces et ses angles internes sont égaux.

Romboedro

C'est un parallélépipède avec des diamants sur sa face. Ces diamants sont tous égaux, car ils partagent des arêtes.

Romboiedro

Ses six faces sont des rhomboïdes. Rappelons qu'un rhomboïde est un polygone à quatre côtés et quatre angles égaux deux à deux. Les rhomboïdes sont les parallélogrammes qui ne sont ni carrés, ni rectangles, ni losanges.

Par contre, les parallélépipèdes obliques sont ceux dans lesquels au moins une hauteur ne correspond pas à son bord. Dans cette classification, nous pouvons inclure les rhomboèdres et les rhomboèdres.

Calcul diagonal

Pour calculer la diagonale d'un orthohédron, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour R³.

Rappelez-vous qu'un orthohédron a la caractéristique que chaque côté est perpendiculaire aux côtés qui partagent le bord. De ce fait, on peut en déduire que chaque arête est perpendiculaire à celles qui partagent un sommet.

Pour calculer la longueur d'une diagonale d'un orthohédron, on procède comme suit:

1. Nous calculons la diagonale d'une des faces, que nous allons mettre en base. Pour cela, nous utilisons le théorème de Pythagore. Nommez cette diagonale d_b.

2. Puis avec d_b on peut former un nouveau triangle rectangle, tel que l'hypoténuse dudit triangle soit la diagonale D recherchée.

3. Nous utilisons à nouveau le théorème de Pythagore et nous avons que la longueur de ladite diagonale est:

Une autre façon de calculer les diagonales de manière plus graphique est la somme des vecteurs libres.

Rappelons que deux vecteurs libres A et B sont ajoutés en plaçant la queue du vecteur B avec la pointe du vecteur A.

Le vecteur (A + B) est celui qui commence à la queue de A et se termine à la pointe de B.

Considérons un parallélépipède auquel nous voulons calculer une diagonale.

Nous identifions les arêtes avec des vecteurs orientés de manière pratique.

Ensuite, nous ajoutons ces vecteurs et le vecteur résultant sera la diagonale du parallélépipède.

Zone

L'aire d'un parallélépipède est donnée par la somme de chacune des zones de ses faces.

Si nous déterminons l'un des côtés comme base,

Un_L + 2A_B = Surface totale

Où un_L est égal à la somme des surfaces de tous les côtés adjacents à la base, appelée zone latérale et A_B c'est la zone de base.

Selon le type de parallélépipède avec lequel nous travaillons, nous pouvons réécrire la formule.

Zone d'un orthohédron

Il est donné par la formule

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemple 1

Étant donné l'orthohédron suivant, avec les côtés a = 6 cm, b = 8 cm et c = 10 cm, calculer l'aire du parallélépipède et la longueur de sa diagonale.

En utilisant la formule pour l'aire d'un orthohédron, nous devons

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Notez que puisque c'est un orthohédron, la longueur de l'une de ses quatre diagonales est la même.

En utilisant le théorème de Pythagore pour l'espace, nous devons

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Surface d'un cube

Comme chaque arête a la même longueur, nous avons a = b et a = c. En remplaçant dans la formule précédente, nous avons

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Exemple 2

La boîte d'une console de jeu a la forme d'un cube. Si nous voulons emballer cette boîte avec du papier cadeau, combien de papier dépenserions-nous en sachant que la longueur des bords du cube est de 45 cm?

En utilisant la formule de la zone du cube, on obtient que

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Zone d'un rhomboèdre

Comme tous leurs visages sont égaux, il suffit de calculer l'aire de l'un d'entre eux et de le multiplier par six.

Nous pouvons calculer l'aire d'un diamant en utilisant ses diagonales avec la formule suivante

Un_R = (Dd) / 2

En utilisant cette formule, il en résulte que la surface totale du rhomboèdre est

Un_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemple 3

Les faces du rhomboèdre suivant sont formées par un losange dont les diagonales sont D = 7 cm et d = 4 cm. Votre région sera

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Surface d'un losange

Pour calculer l'aire d'un losange, il faut calculer l'aire des rhomboïdes qui le composent. Comme les parallélépipèdes respectent la propriété que les côtés opposés ont la même surface, nous pouvons associer les côtés en trois paires.

De cette façon, nous avons que votre région sera

Un_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Où le b_je sont les bases associées aux côtés et à la_je sa hauteur relative correspondant auxdites bases.

Exemple 4

Considérons le parallélépipède suivant,

où le côté A et le côté A '(son côté opposé) ont une base b = 10 et une hauteur h = 6. La zone marquée aura une valeur de

Un₁ = 2(10)(6) =120

Les B et B 'ont b = 4 et h = 6, alors

Un₂ = 2(4)(6) = 48

Et C et C 'ont b = 10 et h = 5, donc

Un₃ = 2(10)(5) =100

Enfin la zone du rhomboèdre est

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume d'un parallélépipède

La formule qui nous donne le volume d'un parallélépipède est le produit de l'aire de l'une de ses faces par la hauteur correspondant à cette face.

V = A_Ch_C

Selon le type de parallélépipède, cette formule peut être simplifiée.

Nous avons donc par exemple que le volume d'un orthohédron serait donné par

V = abc

Où a, b et c représentent la longueur des bords de l'orthohédron.

Et dans le cas particulier du cube est

V = a³

Exemple 1

Il y a trois modèles différents pour les boîtes de cookies et vous voulez savoir dans lequel de ces modèles vous pouvez stocker plus de cookies, c'est-à-dire laquelle des boîtes contient le plus de volume.

Le premier est un cube dont le bord a une longueur de a = 10 cm

Son volume sera V = 1000 cm³

La seconde a des bords b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Et donc son volume est V = 765 cm³

Et le troisième a e = 9 cm, f = 9 cm et g = 13 cm

Et son volume est V = 1053 cm³

Par conséquent, la boîte avec le volume le plus élevé est la troisième.

Une autre méthode pour obtenir le volume d'un parallélépipède consiste à recourir à l'algèbre vectorielle. En particulier, le produit triple scalar.

L'une des interprétations géométriques qui ont le produit scalaire triple est le volume du parallélépipède, dont les arêtes sont trois vecteurs qui partagent le même sommet qu'un point de départ.

De cette façon, si nous avons un parallélépipède et que nous voulons connaître son volume, il suffit de le représenter dans un système de coordonnées dans R³ faire correspondre l'un de ses sommets avec l'origine.

Ensuite, nous représentons les arêtes concourant à l'origine avec les vecteurs, comme indiqué sur la figure.

Et de cette manière nous avons que le volume dudit parallélépipède est donné par

V = | AxB ∙ C |

Ou, de manière équivalente, le volume est le déterminant de la matrice 3 × 3, formée par les composantes des vecteurs de bord.

Exemple 2

En représentant le prochain parallélépipède en R³ nous pouvons voir que les vecteurs qui le déterminent sont les suivants

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) et w = (-0,25, -4, 4)

En utilisant le produit scalaire triple, nous avons

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Nous en concluons que V = 60

Considérons maintenant le parallélépipède suivant dans R3 dont les arêtes sont déterminées par les vecteurs

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) et C = (3, 4, 4)

L’utilisation des déterminants nous donne cette

On a donc que le volume dudit parallélépipède est 112.

Les deux sont des moyens équivalents pour calculer le volume.

Parallélépipède parfait

Il est connu sous le nom de brique d'Euler (ou bloc d'Euler) à un orthohédron qui remplit la propriété selon laquelle la longueur de ses arêtes et la longueur des diagonales de chacune de ses faces sont des entiers.

Bien qu'Euler n'ait pas été le premier scientifique à étudier les orthohèdres qui remplissent cette propriété, il a trouvé des résultats intéressants à leur sujet.

La plus petite brique d'Euler a été découverte par Paul Halcke et les longueurs de ses arêtes sont a = 44, b = 117 et c = 240.

Un problème ouvert en théorie des nombres est le suivant

Y a-t-il des orthohèdres parfaits?

À l'heure actuelle, il est impossible de répondre à cette question, car il n'a pas été possible de prouver que ces corps n'existent pas, mais aucun n'a été trouvé.

Ce qui a été montré jusqu'ici, c'est qu'il existe des parallélépipèdes parfaits. Le premier à découvrir a la longueur de ses arêtes valeurs 103, 106 et 271.

Bibliographie

1. Guy, R. (1981). Problèmes non résolus dans la théorie des nombres. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). La géométrie Progrès
3. Leithold, L. (1992). LE CALCUL avec la géométrie analytique. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Dessin technique: cahier d'activités 3 2e baccalauréat. Tebar
5. Resnick, R. Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physique Vol. Mexique: Continental.