Mathématiques discrètes Ce qu'ils servent, théorie des ensembles

Le mathématiques discrètes correspondent à un domaine des mathématiques chargé d'étudier l'ensemble des nombres naturels; c'est-à-dire l'ensemble des nombres dénombrables finis et infinis où les éléments peuvent être comptés séparément, un par un.

Ces ensembles sont appelés ensembles discrets; Un exemple de ces ensembles sont des nombres entiers, des graphiques ou des expressions logiques, et ils sont appliqués dans différents domaines scientifiques, principalement en informatique ou en informatique.

Index

• 1 description
• 2 À quoi servent les mathématiques discrètes?
  • 2.1 Combinatoire
  • 2.2 Théorie de la distribution discrète
  • 2.3 Théorie de l'information
  • 2.4 Informatique
  • 2.5 Cryptographie
  • 2.6 Logique
  • 2.7 Théorie des graphiques
  • 2.8 Algèbre
  • 2.9 Géométrie
• 3 théorie des ensembles
  • 3.1 Ensemble fini
  • 3.2 Kit de comptabilité infinie
• 4 Discrétisation
• 5 références

Description

Dans les mathématiques discrètes, les processus sont dénombrables, basés sur des nombres entiers. Cela signifie que les nombres décimaux ne sont pas utilisés et que, par conséquent, l'approximation ou les limites ne sont pas utilisées, comme dans d'autres domaines. Par exemple, une inconnue peut être égale à 5 ou 6, mais jamais 4,99 ou 5,9.

Par contre, dans la représentation graphique, les variables seront discrètes et sont issues d'un ensemble fini de points, qui sont comptés un par un, comme on le voit dans l'image:

Les mathématiques discrètes sont nées de la nécessité d’obtenir une étude exacte qui peut être combinée et testée pour l’appliquer dans différents domaines.

Quelle est l'utilisation des mathématiques discrètes?

Les mathématiques discrètes sont utilisées dans plusieurs domaines. Parmi les principaux sont les suivants:

Combinatoire

Étudiez les ensembles finis où des éléments peuvent être ordonnés ou combinés et comptés.

Théorie de la distribution discrète

Étudiez les événements qui se produisent dans des espaces où des échantillons peuvent être comptables, dans lesquels des distributions continues sont utilisées pour se rapprocher de distributions discrètes, ou dans le sens contraire.

Théorie de l'information

Il fait référence au codage de l'information, utilisé pour la conception et la transmission et le stockage de données, comme par exemple les signaux analogiques.

IT

A travers des mathématiques discrètes, les problèmes sont résolus en utilisant des algorithmes, tout en étudiant ce qui peut être calculé et le temps nécessaire pour le faire (complexité).

L’importance des mathématiques discrètes dans ce domaine s’est accrue au cours des dernières décennies, en particulier pour le développement des langages de programmation et logiciels.

Cryptographie

Il est basé sur des mathématiques discrètes pour créer des structures de sécurité ou des méthodes de chiffrement. Un exemple de cette application sont les mots de passe, qui envoient séparément des bits contenant des informations.

A travers l'étude, les propriétés des nombres entiers et des nombres premiers (théorie des nombres) peuvent créer ou détruire ces méthodes de sécurité.

La logique

Des structures discrètes sont utilisées, qui forment généralement un ensemble fini, afin de prouver des théorèmes ou, par exemple, de vérifier un logiciel.

Théorie des graphes

Il permet la résolution de problèmes logiques, en utilisant des nœuds et des lignes qui forment un type de graphique, comme illustré dans l'image suivante:

Algèbre

C'est un domaine étroitement lié aux mathématiques discrètes car les expressions algébriques sont discrètes. À travers cela, les circuits électroniques, les processeurs, la programmation (algèbre booléenne) et les bases de données (algèbre relationnelle) sont développés.

La géométrie

Étudiez les propriétés combinatoires des objets géométriques, tels que le revêtement du plan. En revanche, la géométrie informatique permet de développer des problèmes géométriques en appliquant des algorithmes.

Théorie des décors

Dans les mathématiques discrètes, les ensembles (numérotables finis et infinis) constituent l'objectif principal de l'étude. La théorie des ensembles a été publiée par George Cantor, qui a montré que tous les ensembles infinis ont la même taille.

Un ensemble est un regroupement d'éléments (nombres, choses, animaux et personnes, entre autres) qui sont bien définis; c'est-à-dire qu'il existe une relation selon laquelle chaque élément appartient à un ensemble et s'exprime, par exemple, sur ∈ A.

En mathématiques, différents ensembles regroupent certains nombres en fonction de leurs caractéristiques. Ainsi, par exemple, vous avez:

- Ensemble de nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Ensemble d'entiers E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Sous-ensemble de nombres rationnels Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Ensemble de nombres réels R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Les ensembles sont nommés avec des lettres de l'alphabet, en lettres majuscules; tandis que les éléments sont nommés en minuscules, entre accolades ({}) et séparés par des virgules (,). Ils sont généralement représentés dans des diagrammes comme ceux de Venn et de Caroll, ainsi que sur le plan informatique.

Avec des opérations de base telles que l'union, l'intersection, le complément, la différence et le produit cartésien, les ensembles et leurs éléments sont gérés en fonction de la relation d'appartenance.

Il existe plusieurs types d'ensembles, les plus étudiés en mathématiques discrètes sont les suivants:

Ensemble fini

C'est celui qui a un nombre fini d'éléments et qui correspond à un nombre naturel. Ainsi, par exemple, A = {1, 2, 3,4} est un ensemble fini comportant 4 éléments.

Ensemble de comptabilité infinie

C'est celui dans lequel il existe une correspondance entre les éléments d'un ensemble et les nombres naturels; c'est-à-dire qu'à partir d'un élément, tous les éléments d'un ensemble peuvent être listés successivement.

De cette façon, chaque élément correspondra à chaque élément de l’ensemble des nombres naturels. Par exemple:

L'ensemble des entiers Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} peut être répertorié comme Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. De cette manière, il est possible de faire une correspondance univoque entre les éléments de Z et les nombres naturels, comme le montre l’image suivante:

Discrétisation

C'est une méthode utilisée pour résoudre des problèmes continus (modèles et équations) qui doivent être convertis en problèmes discrets, dans lesquels la solution est connue avec l'approximation de la solution du problème continu.

En d'autres termes, la discrétisation essaie d'extraire une quantité finie d'un ensemble infini de points; de cette manière, une unité continue est transformée en unités individuelles.

Généralement, cette méthode est utilisée en analyse numérique, comme par exemple dans la résolution d'une équation différentielle, au moyen d'une fonction représentée par une quantité finie de données dans son domaine, même si elle est continue.

Un autre exemple de discrétisation est son utilisation pour convertir un signal analogique en numérique, lorsque des unités de signal continues sont converties en unités individuelles (elles sont discrétisées), puis codées et quantifiées pour obtenir un signal numérique.

Références

1. Grimaldi, R. P. (1997). Mathématiques discrètes et combinatoires. Addison Wesley Iberoamericana.
2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Mathématiques discrètes Reverte
3. Jech, T. (2011). Définir la théorie. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
4. José Francisco Villalpando Becerra, A. G. (2014). Mathématiques discrètes: applications et exercices. Grupo Editorial Patria.
5. Landau, R. (2005). Informatique, un premier cours scientifique.
6. Merayo, F. G. (2005). Mathématiques discrètes. Editorial de Thomson.
7. Rosen, K. H. (2003). Mathématiques discrètes et ses applications. McGraw-Hill.
8. Schneider, D. G. (1995). Une approche logique des mathématiques discrètes.