Histoire de la géométrie euclidienne, concepts de base et exemples

Le Géométrie euclidienne correspond à l'étude des propriétés des espaces géométriques où les axiomes d'Euclide sont satisfaits. Bien que ce terme soit parfois utilisé pour englober des géométries ayant des dimensions supérieures avec des propriétés similaires, il est généralement synonyme de géométrie classique ou de géométrie plate.

Au troisième siècle a. C. Euclid et ses disciples ont écrit le Éléments, un travail qui englobait la connaissance mathématique de l'époque dotée d'une structure logico-déductive. Depuis lors, la géométrie est devenue une science, au départ pour résoudre des problèmes classiques et a évolué pour devenir une science formatrice qui aide à la raison.

Index

• 1 histoire
• 2 concepts de base
  • 2.1 Notions communes
  • 2.2 Postulats ou axiomes
• 3 exemples
  • 3.1 Premier exemple
  • 3.2 Deuxième exemple
  • 3.3 Troisième exemple
• 4 références

Histoire

Pour parler de l’histoire de la géométrie euclidienne, il est essentiel de commencer par Euclide d’Alexandrie et le Éléments.

Lorsque l'Egypte fut entre les mains de Ptolémée Ier, après la mort d'Alexandre le Grand, il commença son projet dans une école d'Alexandrie.

Parmi les sages qui enseignaient à l'école, il y avait Euclide. Il est supposé que sa naissance date d'environ 325 a. C. et sa mort de 265 a. C. Nous pouvons savoir avec certitude qu'il est allé à l'école de Plato.

Pendant plus de trente ans, Euclide a enseigné à Alexandrie, en construisant ses éléments célèbres: il a commencé à écrire une description exhaustive des mathématiques de son temps. Les enseignements d'Euclide ont produit d'excellents disciples, tels qu'Archimède et Apollonius de Perga.

Euclide était responsable de la structuration des découvertes disparates des Grecs classiques dans le Éléments, mais contrairement à ses prédécesseurs, il ne se limite pas à affirmer qu'un théorème est vrai; Euclid propose une démonstration.

Le Éléments Ils sont un recueil de treize livres. Après la Bible, c'est le livre le plus publié, avec plus de mille éditions.

Le Éléments est le chef-d'œuvre d'Euclide dans le domaine de la géométrie et offre un traitement définitif de la géométrie de deux dimensions (le plan) et de trois dimensions (espace), ce qui est à l'origine de ce que nous appelons aujourd'hui la géométrie euclidienne.

Des concepts basiques

Les éléments sont constitués de définitions, de notions communes et de postulats (ou axiomes) suivis de théorèmes, de constructions et de démonstrations.

- Un point est celui qui n'a pas de parties.

- Une ligne est une longueur sans largeur.

- Une ligne droite est celle qui se situe également par rapport aux points qu'elle contient.

- Si deux lignes sont coupées pour que les angles adjacents soient égaux, les angles sont appelés droits et les lignes sont appelées perpendiculaires.

- Les lignes parallèles sont celles qui, étant dans le même plan, ne sont jamais coupées.

Après ces définitions et d’autres, Euclid présente une liste de cinq postulats et cinq notions.

Notions communes

- Deux choses égales à un tiers sont égales.

- Si des choses égales sont ajoutées aux mêmes choses, les résultats sont les mêmes.

- Si des choses égales sont soustraites à des choses égales, les résultats sont les mêmes.

- Les choses qui coïncident les unes avec les autres sont égales les unes aux autres.

- Le total est supérieur à une partie.

Postulats ou axiomes

- Pour deux points différents, une seule ligne passe.

- Les lignes droites peuvent s'étendre indéfiniment.

- Vous pouvez dessiner un cercle avec n'importe quel centre et n'importe quel rayon.

- Tous les bons angles sont les mêmes.

- Si une ligne droite croise deux lignes droites de sorte que les angles internes du même côté s’additionnent à moins de deux angles droits, les deux lignes se coupent sur ce côté.

Ce dernier postulat est connu sous le nom de postulat des parallèles et a été reformulé comme suit: "Pour un point en dehors d’une ligne, vous pouvez dessiner un seul parallèle à la ligne donnée".

Des exemples

Ensuite, quelques théorèmes du Éléments ils serviront à montrer les propriétés des espaces géométriques où les cinq postulats d'Euclide sont remplis; De plus, ils illustreront le raisonnement logico-déductif utilisé par ce mathématicien.

Premier exemple

Proposition 1.4. (LAL)

Si deux triangles ont deux côtés et que l'angle entre eux est égal, les autres côtés et les autres angles sont égaux.

Démonstration

Soit ABC et A'B'C 'deux triangles avec AB = A'B', AC = A'C 'et les angles BAC et B'A'C' égaux. Passons au triangle A'B'C 'pour que A'B' coïncide avec AB et que l'angle B'A'C 'coïncide avec l'angle BAC.

Alors, la ligne A'C 'coïncide avec la ligne AC, de sorte que C' coïncide avec C. Ensuite, par le postulat 1, la ligne BC doit coïncider avec la ligne B'C '. Par conséquent, les deux triangles coïncident et, par conséquent, leurs angles et leurs côtés sont égaux.

Deuxième exemple

Proposition 1.5. (Pons Asinorum)

Si un triangle a deux côtés égaux, les angles opposés sont égaux.

Démonstration

Supposons que le triangle ABC a des côtés égaux AB et AC.

Tirons la bissectrice de l'angle BAC, et soit D le point où la bissectrice coupe le côté BC.

Ensuite, les triangles ABD et ACD ont deux côtés égaux et les angles entre eux sont égaux. Ainsi, par la proposition 1.4, les angles ABD et ACD sont égaux.

Troisième exemple

Proposition 1.31

Vous pouvez construire une ligne parallèle à une ligne donnée par un point donné.

CONSTRUCTION

Étant donné une ligne L et un point P, on trace une droite M qui passe par P et coupe L. Ensuite, une ligne N est tracée par P qui coupe vers L. Une droite N coupant vers M est tracée par P, formant un angle égal à celui que L forme avec M.

Affirmation

N est parallèle à L.

Démonstration

Supposons que L et N ne soient pas parallèles et se coupent en un point A. Soit B un point de L au-delà de A. Considérons la ligne O qui passe par B et P. Ensuite, O coupe M en formant des angles qui ajoutent moins de deux droites.

Alors, par 1.5, la ligne O doit couper vers la ligne L de l'autre côté de M, donc L et O se coupent en deux points, ce qui contredit le postulat 1. Par conséquent, L et N doivent être parallèles.

Références

1. Euclide, éléments de géométrie. Université nationale autonome du Mexique
2. Euclide Les six premiers livres et les onzième et douzième éléments d'Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didactique et histoire de la géométrie euclidienne Groupe éditorial ibéro-américain
4. K.Ribnikov. Histoire des mathématiques Mir Editorial
5. Viloria, N. et Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Editorial vénézuélien C.A.