Méthode de division synthétique et exercices résolus

Le division synthétique est un moyen simple de diviser un polynôme P (x) par l'un quelconque de la forme d (x) = x - c. C'est un outil très utile car, en plus de nous permettre de diviser des polynômes, il nous permet également d'évaluer un polynôme P (x) dans n'importe quel nombre c, qui nous indique précisément si ce nombre est nul ou non.

Grâce à l'algorithme de division, nous savons que si nous avons deux polynômes P (x) et d (x) pas constant, il y a des polynômes q (x) et r (x) unique tel qu'il est vrai que P (x) = q (x) d (x) + r (x), où r (x) est nul ou inférieur à q (x). Ces polynômes sont appelés respectivement quotient et résidu ou reste.

Dans les cas où le polynôme d (x) est de la forme x-c, la division synthétique nous donne un moyen rapide de trouver qui sont q (x) et r (x).

Index

• 1 méthode de division synthétique
• 2 exercices résolus
  • 2.1 Exemple 1
  • 2.2 Exemple 2
  • 2.3 Exemple 3
  • 2,4 Exemple 4
• 3 références

Méthode de division synthétique

Soit P (x) = a_nxⁿ+ un_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀ le polynôme qu'on veut diviser et d (x) = x-c le diviseur. Pour diviser par la méthode de division synthétique, nous procédons comme suit:

1- Nous écrivons les coefficients de P (x) dans la première ligne. Si aucune puissance de X n'apparaît, nous mettons à zéro son coefficient.

2- Dans la deuxième rangée, à gauche d'un_n placez c et tracez les lignes de division comme indiqué dans la figure suivante:

3- Nous abaissons le coefficient directeur à la troisième rangée.

Dans cette expression b_n-1= a_n

4- Nous multiplions c par le coefficient dominant b_n-1 et le résultat est écrit dans la deuxième ligne, mais une colonne à droite.

5- Nous ajoutons la colonne où nous avons écrit le résultat précédent et le résultat que nous avons mis sous cette somme; c'est-à-dire, dans la même colonne, troisième ligne.

En ajoutant, nous avons comme résultat_n-1+ c * b_n-1, qui pour plus de commodité, nous appellerons b_n-2

6- Nous multiplions c par le résultat précédent et écrivons le résultat à sa droite dans la deuxième ligne.

7- Nous répétons les étapes 5 et 6 jusqu'à ce que nous atteignions le coefficient a₀.

8- Ecrivez la réponse; c'est-à-dire le quotient et le résidu. Comme nous faisons la division d'un polynôme de degré n entre un polynôme de degré 1, nous avons le quotient sérieux de degré n-1.

Les coefficients du polynôme quotient seront les nombres de la troisième ligne sauf le dernier, qui sera le polynôme résiduel ou le reste de la division.

Exercices résolus

Exemple 1

Effectuez la division suivante par la méthode de division synthétique:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

Solution

Tout d'abord, nous écrivons les coefficients de dividende comme suit:

Ensuite, nous écrivons c sur le côté gauche, dans la deuxième ligne, avec les lignes de division. Dans cet exemple, c = -1.

Nous abaissons le coefficient directeur (dans ce cas b_n-1 = 1) et multipliez-le par -1:

Nous écrivons votre résultat à droite dans la deuxième ligne, comme indiqué ci-dessous:

Nous ajoutons les nombres dans la deuxième colonne:

Nous multiplions 2 par -1 et écrivons le résultat dans la troisième colonne, deuxième ligne:

Nous ajoutons dans la troisième colonne:

Nous procédons de manière analogue jusqu'à la dernière colonne:

Ainsi, nous avons que le dernier nombre obtenu est le reste de la division, et les nombres restants sont les coefficients du polynôme quotient. Ceci est écrit comme suit:

Si nous voulons vérifier que le résultat est correct, il suffit de vérifier que l’équation suivante est remplie:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

De cette façon, nous pouvons vérifier que le résultat obtenu est correct.

Exemple 2

Effectuer la division suivante des polynômes par la méthode de division synthétique

(7x³-x + 2): (x + 2)

Solution

Dans ce cas, nous avons le terme x² il n'apparaît pas, nous allons donc écrire 0 comme coefficient. Donc, le polynôme serait comme 7x³+ 0x²-x + 2

Nous écrivons leurs coefficients à la suite, c'est:

Écrivez la valeur de C = -2 sur le côté gauche de la deuxième ligne et tracez les lignes de division.

Nous abaissons le coefficient directeur b_n-1 = 7 et multipliez-le par -2 en écrivant son résultat dans la deuxième ligne à droite.

Nous ajoutons et procédons comme expliqué précédemment, jusqu'à ce que nous atteignions le dernier terme:

Dans ce cas, le reste est r (x) = - 52 et le quotient obtenu est q (x) = 7x²-14x + 27

Exemple 3

Une autre façon d'utiliser la division synthétique est la suivante: supposons que nous ayons un polynôme P (x) de degré n et que nous voulons savoir quelle est la valeur lorsque nous l'évaluons dans x = c.

Par l'algorithme de la division, nous pouvons écrire le polynôme P (x) de la manière suivante:

Dans cette expression, q (x) et r (x) sont respectivement le quotient et le reste. Maintenant, si d (x) = x- c, en évaluant dans c dans le polynôme, nous trouvons ce qui suit:

Pour cette raison, il suffit de trouver r (x), ce que nous pouvons faire grâce à la division synthétique.

Par exemple, nous avons le polynôme P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 et nous voulons savoir quelle est sa valeur lors de l'évaluation à x = 5.Pour ce faire, nous effectuons la division entre P (x) et d (x) = x -5 par la méthode de division synthétique:

Une fois les opérations terminées, nous savons que nous pouvons écrire P (x) de la manière suivante:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Par conséquent, lors de l'évaluation, nous devons:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Comme on peut le voir, il est possible d'utiliser la division synthétique pour trouver la valeur d'un polynôme en l'évaluant dans c au lieu de simplement remplacer c par x.

Si nous essayions d'évaluer P (5) de manière traditionnelle, nous devions faire des calculs qui ont tendance à devenir fastidieux.

Exemple 4

L'algorithme de division pour les polynômes est également vrai pour les polynômes à coefficients complexes et, par conséquent, la méthode de la division synthétique fonctionne également pour ces polynômes. Ensuite, nous verrons un exemple.

Nous utiliserons la méthode de division synthétique pour montrer que z = 1+ 2i est un zéro du polynôme P (x) = x³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); c'est-à-dire que le reste de la division P (x) entre d (x) = x - z est égal à zéro.

Nous procédons comme auparavant: dans la première ligne, nous écrivons les coefficients de P (x), puis dans la seconde, nous écrivons z et dessinons les lignes de division.

Nous avons fait la division comme avant; c'est:

On peut voir que le résidu est nul; par conséquent, nous concluons que z = 1+ 2i est un zéro de P (x).

Références

1. Baldor Aurelio. Algèbre. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: graphique, numérique, algébrique 7e édition Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Précalcul 4ème éd. Pearson Education.
5. Rouge Armando O. Algèbre 1 6ème éd. L'Athénée