Décomposition des nombres naturels (avec exemples et exercices)

Le décomposition des nombres naturels peut se produire de différentes manières: comme produit de facteurs premiers, comme somme de puissances de deux et décomposition additive. Ils seront expliqués en détail ci-dessous.

Une propriété utile ayant la puissance de deux est qu'avec eux, vous pouvez convertir un numéro de système décimal en un numéro de système binaire. Par exemple, 7 (nombre dans le système décimal) est équivalent au nombre 111, puisque 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Les nombres naturels sont les nombres avec lesquels vous pouvez compter et lister des objets. Dans la plupart des cas, les nombres naturels commencent à partir de 1. Ces nombres sont enseignés à l'école et sont utiles dans presque toutes les activités de la vie quotidienne.

Index

• 1 façons de décomposer les nombres naturels
  • 1.1 La décomposition en tant que produit de facteurs premiers
  • 1.2 La décomposition en somme des puissances de 2
  • 1.3 Décomposition additive
• 2 exercices et solutions
  • 2.1 Décomposition en produit de nombres premiers
  • 2.2 Décomposition en somme des pouvoirs de 2
  • 2.3 Décomposition additive
• 3 références

Façons de décomposer les nombres naturels

Comme mentionné précédemment, voici trois manières différentes de décomposer les nombres naturels.

Décomposition en tant que produit de facteurs premiers

Chaque nombre naturel peut être exprimé comme un produit de nombres premiers. Si le nombre est déjà premier, sa décomposition est elle-même multipliée par un.

Sinon, il est divisé en le plus petit nombre premier par lequel il est divisible (il peut être une ou plusieurs fois), jusqu'à ce qu'un nombre premier soit obtenu.

Par exemple:

5 = 5*1.

15 = 3*5.

28 = 2*2*7.

624 = 2*312 = 2*2*156 = 2*2*2*78 = 2*2*2*2*39 = 2*2*2*2*3*13.

175 = 5*35 = 5*5*7.

Décomposition comme somme des puissances de 2

Une autre propriété intéressante est que tout nombre naturel peut être exprimé comme une somme de puissances de 2. Par exemple:

1 = 2^0.

2 = 2^1.

3 = 2^1 + 2^0.

4 = 2^2.

5 = 2^2 + 2^0.

6 = 2^2 + 2^1.

7 = 2^2 + 2^1 + 2^0.

8 = 2^3.

15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.

Décomposition additive

Une autre façon de décomposer les nombres naturels consiste à considérer leur système de numérotation décimal et la valeur de position de chaque nombre.

Ceci est obtenu en considérant les chiffres de droite à gauche et en commençant par l'unité, la décennie, la centaine, l'unité de milliers, les dizaines de milliers, les centaines de milliers, les unités de millions, etc. Cette unité est multipliée par le système de numérotation correspondant.

Par exemple:

239 = 2*100 + 3*10 + 9*1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4*1000 + 8*100 + 9*10 + 3*1.

Exercices et solutions

Considérons le nombre 865236. Trouve sa décomposition en produit des nombres premiers, en somme des puissances de 2 et de sa décomposition additive.

Décomposition en produit de nombres premiers

-En tant que 865236 est même, assurez-vous que le plus petit cousin pour lequel il est divisible est 2.

-Diviser entre 2, vous obtenez: 865236 = 2 * 432618. Là encore, un nombre pair est obtenu.

-Il continue à diviser jusqu'à ce qu'un nombre impair soit obtenu. Ensuite: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-Le dernier nombre est impair, mais il est divisible par 3 puisque la somme de ses chiffres est impaire.

-So, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. Le nombre 72103 est premier.

-Par conséquent, la décomposition souhaitée est la dernière.

Décomposition en somme de pouvoirs de 2

-La plus haute puissance de 2 est recherchée qui est la plus proche de 865236.

-C'est 2 ^ 19 = 524288. Maintenant, la même chose est répétée pour la différence 865236 - 524288 = 340948.

-La puissance la plus proche dans ce cas est 2 ^ 18 = 262144. Il est maintenant suivi par 340948-262144 = 78804.

-Dans ce cas, la puissance la plus proche est 2 ^ 16 = 65536. Continuez 78804 - 65536 = 13268 et vous obtenez que la puissance la plus proche est 2 ^ 13 = 8192.

-Maintenant avec 13268 - 8192 = 5076 et vous obtenez 2 ^ 12 = 4096.

-Alors avec 5076 - 4096 = 980 et nous avons 2 ^ 9 = 512. Nous continuons avec 980 - 512 = 468, et la puissance la plus proche est 2 ^ 8 = 256.

-Maintenant vient 468 - 256 = 212 avec 2 ^ 7 = 128.

-Then, 212 - 128 = 84 avec 2 ^ 6 = 64.

-Maintenant 84 - 64 = 20 avec 2 ^ 4 = 16.

-Et enfin 20 - 16 = 4 avec 2 ^ 2 = 4.

Enfin, vous devez:

865236 = 2^19 + 2^18 + 2^16 + 2^13 + 2^12 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^2.

Décomposition additive

Identifiant les unités, nous avons que l'unité correspond au nombre 6, le dix à 3, le cent à 2, l'unité de mille à 5, le dix mille à 6 et le cent mille à 8.

Alors,

865236 = 8*100.000 + 6*10.000 + 5*1.000 + 2*100 + 3*10 + 6

            = 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

Références

1. Barker, L. (2011). Textes nivelés pour les mathématiques: nombre et opérations. Matériel créé par l'enseignant.
2. Burton, M., French, C., et Jones, T. (2011). Nous utilisons des nombres. Benchmark Education Company.
3. Doudna, K. (2010). Personne ne s'endort quand nous utilisons des nombres! ABDO Publishing Company.
4. Fernández, J. M. (1996). Projet d’approche de liaison chimique. Reverte
5. Hernández, J. d. (s.f.) Cahier de mathématiques. Seuil
6. Lahora, M. C. (1992). Activités mathématiques avec des enfants de 0 à 6 ans. Editions Narcea.
7. Marín, E. (1991). Grammaire espagnole Progress Editorial.
8. Tocci, R. J. et Widmer, N. S. (2003). Systèmes numériques: principes et applications. Pearson Education.