Applications de décomposition additives, partitions, graphiques



Le décomposition additive d'un nombre entier positif consiste à l'exprimer comme une somme de deux nombres entiers positifs ou plus. Ainsi, nous avons que le nombre 5 peut être exprimé comme 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ou 5 = 1 + 2 + 2. Chacune de ces manières d’écrire le nombre 5 est ce que nous appelons la décomposition additive.

Si l'on fait attention on peut voir que les expressions 5 = 2 + 3 et 5 = 3 + 2 représentent la même composition; les deux ont les mêmes numéros. Cependant, par souci de commodité, chacun des addends est généralement écrit suivant le critère du plus petit au plus grand.

Index

  • 1 décomposition additive
  • 2 décomposition additive canonique
  • 3 applications
    • 3.1 Exemple de théorème
  • 4 partitions
    • 4.1 Définition
  • 5 graphiques
  • 6 références

Décomposition additive

Comme autre exemple, nous pouvons prendre le numéro 27, que nous pouvons exprimer comme:

27=  7+10+10

27=  9+9+9

27=   3+6+9+9

27= 9+18

La décomposition additive est un outil très utile qui nous permet de renforcer nos connaissances sur les systèmes de numérotation.

Décomposition canonique additive

Lorsque nous avons des nombres de plus de deux chiffres, une manière particulière de les décomposer est celle des multiples de 10, 100, 1000, 10 000, etc., qui la composent. Cette manière d'écrire n'importe quel nombre s'appelle la décomposition additive canonique. Par exemple, le numéro 1456 peut être divisé comme suit:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Si nous avons le numéro 20 846 295, sa décomposition additive canonique sera:

20 846 295= 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Grâce à cette décomposition, nous pouvons voir que la valeur d’un chiffre donné est donnée par la position qu’il occupe. Prenez les numéros 24 et 42 comme exemple:

24= 20 + 4

42= 40 +2

On peut observer ici que dans 24 le 2 a une valeur de 20 unités et le 4 une valeur de 4 unités; au lieu de cela, en 42, le 4 a une valeur de 40 unités et le 2 de deux unités. Ainsi, bien que les deux chiffres utilisent les mêmes chiffres, leurs valeurs sont totalement différentes selon la position qu'ils occupent.

Applications

L'une des applications que nous pouvons donner à la décomposition additive réside dans certains types de démonstrations, dans lesquelles il est très utile de voir un nombre entier positif comme la somme des autres.

Exemple de théorème

Prenons comme exemple le théorème suivant avec ses démonstrations respectives.

- Soit Z un entier à 4 chiffres, alors Z est divisible par 5 si son nombre correspondant aux unités est zéro ou cinq.

Démonstration

Rappelez-vous ce qu'est la divisibilité. Si nous avons des entiers "a" et "b", nous disons que "a" divise "b" s'il existe un entier "c" tel que b = a * c.

Une des propriétés de la divisibilité nous dit que si "a" et "b" sont divisibles par "c", alors la soustraction "a-b" est aussi divisible par "c".

Soit Z un entier à 4 chiffres; Par conséquent, nous pouvons écrire Z comme Z = ABCD.

En utilisant la décomposition additive canonique, nous avons ceci:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Il est clair que A * 1000 + B * 100 + C * 10 est divisible par 5. Pour cela, nous avons que Z est divisible par 5 si Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) est divisible par 5.

Mais Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D et D est un nombre d'une seule figure, de sorte que la seule façon dont il est divisible par 5 est que c'est 0 ou 5.

Par conséquent, Z est divisible par 5 si D = 0 ou D = 5.

Notez que si Z a n chiffres, la preuve est exactement la même, cela change seulement que maintenant nous écririons Z = A1Un2... An et le but serait de prouver que An C'est zéro ou cinq.

Partitions

Nous disons qu'une partition d'un entier positif est un moyen d'écrire un nombre comme la somme des entiers positifs.

La différence entre une décomposition additive et une partition réside dans le fait que, dans le premier cas, on cherche à le décomposer au moins en deux additifs. Dans la partition, il n’ya pas de restriction.

Donc, nous avons ce qui suit:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+2+2

Les ci-dessus sont des partitions de 5.

C'est-à-dire que toute décomposition additive est une partition, mais chaque partition n'est pas nécessairement une décomposition additive.

Dans la théorie des nombres, le théorème fondamental de l'arithmétique garantit que chaque nombre entier peut être écrit uniquement comme un produit de nombres premiers.

Lors de l’étude des partitions, l’objectif est de déterminer combien de façons vous pouvez écrire un entier positif comme la somme d’autres entiers. Nous définissons donc la fonction de partition comme présenté ci-dessous.

Définition

La fonction de partition p (n) est définie comme le nombre de façons dont un entier positif n peut être écrit comme une somme d'entiers positifs.

Pour revenir à l'exemple de 5, nous devons:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+1+3

5= 1+2+2

5= 1+1+1+2

5= 1+1+1+1+1

De cette manière, p (5) = 7.

Graphiques

Les partitions et les décompositions additives d'un nombre n peuvent être représentées géométriquement. Supposons que nous ayons une décomposition additive de n. Dans cette décomposition, les add-ons peuvent être organisés de sorte que les membres de la somme soient classés du plus bas au plus élevé. Alors, ça vaut la peine:

n = a1 + un2 + un3 + ... + ar avec

un1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Nous pouvons tracer cette décomposition de la manière suivante: dans la première ligne, nous marquons la1-points, puis dans le prochain nous marquons2-points, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous arriviez àr.

Prenez le numéro 23 et sa décomposition suivante à titre d’exemple:

23= 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Nous commandons cette décomposition et nous avons:

23= 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Son graphique correspondant serait:

De même, si nous lisons ce graphique verticalement plutôt qu'horizontalement, nous pouvons obtenir une décomposition qui peut être différente de la précédente. Dans l'exemple de 23 met en évidence ce qui suit:

Donc, nous devons 23 nous pouvons également écrire comme:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Références

  1. G.H. Hardy et E. M. Wright. Une introduction à la théorie des nombres. Oxford Clarendon Press.
  2. Navarro C. Encyclopédie Didactique 6. Editorial Santillana, S.A.
  3. Navarro C.Lien avec les mathématiques 6. Editorial Santillana, S.A.
  4. Niven & Zuckerman. Introduction à la théorie des nombres. Chaux
  5. Évaluation VV.AA Critère de domaine mathématique: un modèle pour l'enseignement primaire. Wolters Kluwer Education.
  6. Encyclopédie Didactique 6.