Combien de solutions une équation quadratique a-t-elle?

Une équation quadratique ou une équation du second degré peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles, en fonction des coefficients apparaissant dans cette équation.

Si vous travaillez sur des nombres complexes, vous pouvez dire que chaque équation quadratique a deux solutions.

Commencer une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et x est une variable.

On dit que x1 est une solution de l'équation quadratique précédente si le remplacement de x par x1 satisfait à l'équation, c'est-à-dire si a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Si nous avons par exemple l'équation x²-4x + 4 = 0, alors x1 = 2 est la solution puisque (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Au contraire, si x2 = 0 est substitué, on obtient (0) ²-4 (0) + 4 = 4 et comme 4 ≠ 0 alors x2 = 0 n'est pas une solution de l'équation quadratique.

Solutions d'une équation quadratique

Le nombre de solutions d'une équation quadratique peut être séparé en deux cas:

1.- En chiffres réels

Lorsque vous travaillez avec des nombres réels, les équations quadratiques peuvent avoir:

-Cinq solutions: c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombre réel satisfaisant à l'équation quadratique. Par exemple, l'équation donnée par l'équation x² + 1 = 0, il n'y a pas de nombre réel tel que vérifiant cette équation, puisque x² est supérieur ou égal à zéro et que 1 est plus grand que zéro, sa somme sera donc plus grande strict que zéro.

-Une solution répétée: Il y a une seule valeur réelle qui satisfait à l'équation quadratique. Par exemple, la seule solution à l'équation x²-4x + 4 = 0 est x1 = 2.

-Deux solutions différentes: il y a deux valeurs qui satisfont l'équation quadratique. Par exemple, x² + x-2 = 0 a deux solutions différentes qui sont x1 = 1 et x2 = -2.

2.- Dans les nombres complexes

Lorsque vous travaillez avec des nombres complexes, les équations quadratiques ont toujours deux solutions: z1 et z2 où z2 est le conjugué de z1. En outre, ils peuvent être classés en:

-Complexes: les solutions sont de la forme z = p ± qi, où p et q sont des nombres réels. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

Complexes complets: est lorsque la partie réelle de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution a la forme z = ± qi, où q est un nombre réel. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

-Complexes avec une partie imaginaire égale à zéro: est lorsque la partie complexe de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution est un nombre réel. Ce cas correspond aux deux derniers cas de la liste précédente.

Comment les solutions d'une équation quadratique sont-elles calculées?

Pour calculer les solutions d'une équation quadratique, on utilise une formule appelée "le résolveur", qui dit que les solutions d'une équation ax² + bx + c = 0 sont données par l'expression de l'image suivante:

La quantité qui apparaît à l'intérieur de la racine carrée s'appelle le discriminant de l'équation quadratique et est désignée par la lettre "d".

L'équation quadratique aura:

-Deux solutions réelles si et seulement si d> 0.

-Une solution réelle répétée si et seulement si d = 0.

- Cinq solutions réelles (ou deux solutions complexes) si et seulement si, d <0.

Exemples:

-Les solutions de l'équation x² + x-2 = 0 sont données par:

-L'équation x²-4x + 4 = 0 a une solution répétée qui est donnée par:

-Les solutions de l'équation x² + 1 = 0 sont données par:

Comme on peut le voir dans ce dernier exemple, x2 est le conjugué de x1.

Références

1. Sources, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul Lulu.com
2. Garo, M. (2014). Mathématiques: équations quadratiques. Comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F. et Paul, R. S. (2003). Mathématiques pour l'administration et l'économie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M. et Estrada, R. (2005). Mathématiques 1 SEP. Seuil
5. Preciado, C. T. (2005). Cours de mathématiques 3ème Progress Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Algèbre I Is Easy! Si facile Team Rock Press.
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