Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?



Pour savoir quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs, vous pouvez trouver une formule avec laquelle il suffit de substituer les nombres impliqués pour obtenir le résultat.

Cette formule peut être trouvée de manière générale, c’est-à-dire qu’elle peut être utilisée pour toute paire de nombres consécutifs.

Quand on dit "nombres consécutifs", on dit implicitement que les deux nombres sont des nombres entiers. Et en parlant de "les carrés" se réfère à carré chaque nombre.

Par exemple, si les nombres 1 et 2 sont considérés, leurs carrés sont 1² = 1 et 2² = 4, donc la somme des carrés est 1 + 4 = 5.

Par contre, si les nombres 5 et 6 sont pris, leurs carrés sont 5² = 25 et 6² = 36, la somme des carrés étant 25 + 36 = 61.

Quelle est la somme des carrés de deux nombres consécutifs?

L'objectif est maintenant de généraliser ce qui a été fait dans les exemples précédents. Pour cela, il est nécessaire de trouver une manière générale d'écrire un nombre entier et son entier consécutif.

Si deux entiers consécutifs sont observés, par exemple 1 et 2, on peut voir que 2 peut être écrit comme 1 + 1. De plus, si nous regardons les chiffres 23 et 24, nous concluons que 24 peut être écrit comme 23 + 1.

Pour les entiers négatifs, ce comportement peut également être vérifié. En effet, si vous considérez -35 et -36, vous pouvez voir que -35 = -36 + 1.

Par conséquent, si un nombre entier "n" est choisi, le nombre entier consécutif à "n" est "n + 1". Ainsi, une relation entre deux entiers consécutifs a déjà été établie.

Quelle est la somme des carrés?

Étant donné deux entiers consécutifs "n" et "n + 1", alors leurs carrés sont "n²" et "(n + 1) ²". En utilisant les propriétés des produits notables, ce dernier terme peut être écrit comme suit:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Enfin, la somme des carrés des deux nombres consécutifs est donnée par l'expression:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Si la formule précédente est détaillée, on peut voir qu'il suffit de connaître le plus petit entier "n" pour savoir quelle est la somme des carrés, c'est-à-dire qu'il suffit d'utiliser le plus petit des deux entiers.

Une autre perspective de la formule obtenue est la suivante: les nombres choisis sont multipliés, puis le résultat obtenu est multiplié par 2 et enfin, 1 est ajouté.

Par contre, le premier sommet à droite est un nombre pair et lorsque vous ajoutez 1, le résultat sera impair. Ceci dit, le résultat de l'ajout des carrés de deux nombres consécutifs sera toujours un nombre impair.

On peut également noter que deux nombres au carré étant ajoutés, ce résultat sera toujours positif.

Des exemples

1.- Considérons les entiers 1 et 2. Le plus petit entier est 1. En utilisant la formule ci-dessus, nous concluons que la somme des carrés est: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Ce qui correspond aux comptes établis au début.

2.- Si les entiers 5 et 6 sont pris, alors la somme des carrés sera 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, ce qui coïncide également avec le résultat obtenu au début.

3.- Si les entiers -10 et -9 sont choisis, alors la somme de leurs carrés est: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Soit les entiers dans cette opportunité -1 et 0, alors la somme de leurs carrés est donnée par 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Références

  1. Bouzas, P. G. (2004). Algèbre au secondaire: travail coopératif en mathématiques. Editions Narcea.
  2. Cabello, R. N. (2007). Pouvoirs et racines. Livres de Publicatus.
  3. Cabrera, V. M. (1997). Calcul 4000 Progress Editorial.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). L'ensemble des nombres entiers. EUNED.
  5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
  6. Smith, S.A. (2000). Algèbre Pearson Education.
  7. Thomson. (2006). Passer le GED: Mathématiques. InterLingua Publishing.