Comment obtenir une zone du Pentagone?

Le la surface du pentagone est calculée par une méthode appelée triangulation, qui peut être appliquée à n'importe quel polygone. Cette méthode consiste à diviser le pentagone en plusieurs triangles.

Après cela, la surface de chaque triangle est calculée et toutes les zones trouvées sont ajoutées. Le résultat sera la zone du pentagone.

Le pentagone pourrait aussi être divisé en d'autres formes géométriques, comme dans un trapézoïde et un triangle, comme la figure à droite.

Le problème est que la longueur de la base principale et la hauteur du trapèze ne sont pas faciles à calculer. De plus, la hauteur du triangle rouge doit être calculée.

Comment calculer l'aire d'un pentagone?

La méthode générale pour calculer la surface d'un pentagone est triangulation, mais la méthode peut être directe ou un peu plus selon que le pentagone est régulier ou non.

Zone d'un pentagone régulier

Avant de calculer la superficie, il est nécessaire de savoir ce qu'est l'apothème.

Le apothème d'un pentagone régulier (de polygone régulier) est la plus petite distance du centre du pentagone (polygone) au point milieu d'un côté du pentagone (polygone).

En d'autres termes, l'apothème est la longueur du segment de ligne allant du centre du pentagone au milieu du côté.

Considérons un pentagone régulier tel que la longueur de ses côtés est "L". Pour calculer son apothème premier angle au centre α entre le nombre de côtés, à savoir α = 360 ° / 5 = 72 ° est divisé.

Maintenant, en utilisant les rapports trigonométriques, la longueur de l'apothème est calculée comme indiqué dans l'image suivante.

Par conséquent, l'apothème a une longueur de L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Lors de la triangulation du pentagone, une figure comme celle ci-dessous sera obtenue.

Les 5 triangles ont la même surface (car c'est un pentagone régulier). La surface du pentagone est donc 5 fois supérieure à celle d’un triangle. C'est-à-dire l'aire d'un pentagone = 5 * (L * ap / 2).

En substituant la valeur de l'apothème, nous obtenons que l'aire est A = 1,72 * L².

Par conséquent, pour calculer l'aire d'un pentagone régulier, il vous suffit de connaître la longueur d'un côté.

Zone d'un pentagone irrégulier

Il commence par un pentagone irrégulier, de telle sorte que ses côtés sont L1, L2, L3, L4 et L5. Dans ce cas, l'apothème ne peut pas être utilisé comme il était utilisé auparavant.

Après avoir fait la triangulation, vous obtenez un chiffre comme celui-ci:

Nous allons maintenant dessiner et calculer les hauteurs de ces 5 triangles intérieurs.

Ensuite, les surfaces des triangles intérieurs sont T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 et T5 = L5 * h5 / 2.

Les valeurs correspondant à h1, h2, h3, h4 et h5 sont les hauteurs de chaque triangle, respectivement.

Enfin, la zone du pentagone est la somme de ces 5 zones. C'est-à-dire que A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Comme vous pouvez le voir, le calcul de l'aire d'un pentagone irrégulier est plus complexe que le calcul de l'aire d'un pentagone régulier.

Déterminant de Gauss

Il existe également une autre méthode par laquelle vous pouvez calculer l'aire d'un polygone irrégulier, appelé déterminant gaussien.

Cette méthode consiste à dessiner le polygone dans le plan cartésien, puis les coordonnées de chaque sommet sont calculées.

Les sommets sont listés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et, finalement, certains déterminants sont calculés pour finalement obtenir l'aire du polygone en question.

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