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Calcul des approximations à l'aide du différentiel
Une approximation en mathématiques est un nombre qui n'est pas la valeur exacte de quelque chose, mais en est si proche qu'il est considéré comme aussi utile que cette valeur exacte.
Lorsque des approximations sont faites en mathématiques, c'est parce que manuellement, il est difficile (ou parfois impossible) de connaître la valeur précise de ce qui est désiré.
L'outil principal lorsque l'on travaille avec des approximations est le différentiel d'une fonction.
Le différentiel d'une fonction f, noté Δf (x), n'est pas plus que la dérivée de la fonction f multipliée par le changement de la variable indépendante, c'est-à-dire Δf (x) = f '(x) * Δx.
Parfois, df et dx sont utilisés à la place de Δf et Δx.
Approximations utilisant le différentiel
La formule utilisée pour effectuer une approximation par le biais du différentiel provient uniquement de la définition de la dérivée d'une fonction comme limite.
Cette formule est donnée par:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
On comprend que Δx = x-x0, donc x = x0 + Δx. En utilisant ceci la formule peut être réécrite comme
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.
Il convient de noter que "x0" n'est pas une valeur arbitraire, mais est une valeur telle que f (x0) est facilement connu; De plus, "f (x)" est juste la valeur que nous voulons approcher.
Y a-t-il de meilleures approches?
La réponse est oui. La précédente est la plus simple des approximations appelée "approximation linéaire".
Pour obtenir des approximations de meilleure qualité (l'erreur est moindre), on utilise des polynômes avec davantage de dérivés appelés "polynômes de Taylor", ainsi que d'autres méthodes numériques telles que la méthode de Newton-Raphson, entre autres.
Stratégie
La stratégie à suivre est la suivante:
- Choisissez une fonction f appropriée pour effectuer l’approximation et la valeur "x" telle que f (x) soit la valeur à estimer.
- Choisissez une valeur "x0", proche de "x", telle que le f (x0) soit facile à calculer.
- Calculer Δx = x-x0.
- Calculer la dérivée de la fonction et f '(x0).
- Remplacez les données dans la formule.
Exercices d'approximation résolus
Dans ce qui continue il y a une série d'exercices où des approximations sont faites en utilisant le différentiel.
Premier exercice
Environ √3.
Solution
Suivant la stratégie, une fonction appropriée doit être choisie. Dans ce cas, on peut voir que la fonction à choisir doit être f (x) = √x et la valeur approximative est f (3) = √3.
Maintenant, il faut choisir une valeur "x0" proche de "3" pour que f (x0) soit facile à calculer. Si vous choisissez "x0 = 2" vous avez que "x0" est proche de "3" mais f (x0) = f (2) = √2 n'est pas facile à calculer.
La valeur de "x0" qui convient est "4", car "4" est proche de "3" et aussi f (x0) = f (4) = √4 = 2.
Si "x = 3" et "x0 = 4", alors Δx = 3-4 = -1. Nous procédons maintenant au calcul de la dérivée de f. C'est-à-dire que f '(x) = 1/2 * √x, de sorte que f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
En substituant toutes les valeurs dans la formule que vous obtenez:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.
Si une calculatrice est utilisée, on obtient que √3≈1.73205 ... Cela montre que le résultat précédent est une bonne approximation de la valeur réelle.
Deuxième exercice
Environ √10.
Solution
Comme précédemment, il est choisi comme fonction f (x) = √x et dans ce cas x = 10.
La valeur de x0 qui doit être choisie à ce moment est "x0 = 9". On a alors Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 et f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Lorsque vous évaluez dans la formule que vous obtenez cela
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...
En utilisant une calculatrice, vous obtenez cette √10 ≈ 3.1622776 ... Ici, vous pouvez également voir qu'une bonne approximation a été obtenue auparavant.
Troisième exercice
Approximatif ³√10, où ³√ désigne la racine du cube.
Solution
Il est clair que la fonction à utiliser dans cet exercice est f (x) = ³√x et la valeur de "x" doit être "10".
Une valeur proche de "10" telle que sa racine cubique est connue est "x0 = 8". Alors on a que Δx = 10-8 = 2 et f (x0) = f (8) = 2. On a aussi que f '(x) = 1/3 * ³√x², et par conséquent f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.
En substituant les données dans la formule, on obtient que:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,16666 ....
La calculatrice dit que ³√10 ≈ 2.15443469 ... Par conséquent, l'approximation trouvée est bonne.
Quatrième exercice
Approche ln (1.3), où "ln" désigne la fonction logarithme naturelle.
Solution
Tout d'abord, la fonction f (x) = ln (x) est choisie et la valeur de "x" est 1,3. Maintenant, connaissant un peu la fonction logarithme, nous pouvons savoir que ln (1) = 0, et que "1" est proche de "1.3".Par conséquent, "x0 = 1" est choisi et donc Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
Par contre f '(x) = 1 / x, de sorte que f' (1) = 1. Lorsque vous évaluez dans la formule donnée, vous devez:
ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.
Lorsque vous utilisez une calculatrice, vous devez ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Donc, l'approximation est bonne.
Références
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