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Contexte historique de la géométrie analytique
Le Contexte historique de la géométrie analytique ils remontent au 17ème siècle, lorsque Pierre de Fermat et René Descartes ont défini leur idée fondamentale. Son invention a suivi la modernisation de l'algèbre et la notation algébrique de François Viète.
Ce domaine a ses bases dans la Grèce antique, en particulier dans les œuvres d'Apollonius et d'Euclide, qui ont eu une grande influence dans ce domaine des mathématiques.
L'idée essentielle de la géométrie analytique est qu'une relation entre deux variables, l'une étant fonction de l'autre, définit une courbe.
Cette idée a été développée pour la première fois par Pierre de Fermat. Grâce à ce cadre essentiel, Isaac Newton et Gottfried Leibniz ont pu développer le calcul.
Le philosophe français Descartes a également découvert une approche algébrique de la géométrie, apparemment seule. Le travail de Descartes sur la géométrie apparaît dans son célèbre livre Discours de la méthode.
Dans ce livre, il est souligné que la boussole et les constructions géométriques des arêtes droites impliquent l'addition, la soustraction, la multiplication et les racines carrées.
La géométrie analytique représente l'union de deux traditions importantes en mathématiques: géométrie comme l'étude de la forme, et l'arithmétique et l'algèbre, qui ont à voir avec le ou les numéros. Par conséquent, la géométrie analytique est l'étude du domaine de la géométrie à l'aide de systèmes de coordonnées.
Histoire
Antécédents de géométrie analytique
La relation entre la géométrie et l'algèbre a évolué tout au long de l'histoire des mathématiques, bien que la géométrie ait atteint un degré de maturité plus tôt.
Par exemple, le mathématicien grec Euclid a pu organiser de nombreux résultats dans son livre classique Les éléments.
Mais c'est l'ancien grec Apollonius de Perga qui a prédit le développement de la géométrie analytique dans son livre Conique. Il a défini une conique comme l'intersection entre un cône et un plan.
En utilisant les résultats d'Euclide triangles cercles semblables et sécantes, qui se trouve à gauche par des distances d'un point quelconque « P » d'un deux lignes perpendiculaires coniques, le grand axe d'un cône et la tangente en un point de fin du rapport d'axe. Apollonius a utilisé cette relation pour déduire les propriétés fondamentales des coniques.
Le développement subséquent des systèmes de coordonnées en mathématiques n'a émergé qu'après que l'algèbre eut mûri grâce aux mathématiciens indiens et islamiques.
Jusqu'à la Renaissance, la géométrie était utilisée pour justifier des solutions aux problèmes algébriques, mais l'algèbre ne pouvait guère contribuer à la géométrie.
Cette situation changerait avec l'adoption d'une notation commode pour les relations algébriques et le développement du concept de fonction mathématique, qui était maintenant possible.
XVIème siècle
A la fin du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète introduit la première notation algébrique systématique en utilisant des lettres pour représenter des quantités numériques, connus et inconnus.
Il a également développé des méthodes générales puissantes pour travailler des expressions algébriques et résoudre des équations algébriques.
Grâce à cela, les mathématiciens n'étaient pas complètement dépendants des figures géométriques et de l'intuition géométrique pour résoudre des problèmes.
Même certains mathématiciens ont commencé à abandonner la manière standard géométrique de réflexion, selon lequel les longueurs variables linéaires et des carrés correspondent à des zones, tandis que le volume cubique correspondant.
Le philosophe et mathématicien René Descartes, l'avocat et mathématicien Pierre de Fermat sont les premiers à franchir le pas.
Fondation de la géométrie analytique
Descartes et Fermat fondèrent indépendamment la géométrie analytique au cours des années 1630, adoptant l'algèbre de Viète pour l'étude du locus.
Ces mathématiciens ont réalisé que l'algèbre était un outil de grande puissance en géométrie et a inventé ce qu'on appelle aujourd'hui la géométrie analytique.
Un progrès a été fait pour vaincre Viète en utilisant des lettres pour représenter des distances variables au lieu de fixes.
Descartes équations utilisées pour étudier les courbes définies géométriquement, et ont mis en évidence la nécessité d'envisager des courbes algébriques-graphiques générales d'équations algébriques dans les classes « x » et « y ».
Pour sa part, Fermat a souligné que toute relation entre les coordonnées "x" et "et" détermine une courbe.
Utilisant ces idées, il restructure les déclarations d'Apollonius sur les termes algébriques et rétablit certaines de ses œuvres perdues.
Fermat a indiqué que toute équation quadratique dans "x" et "y" peut être placée dans la forme standard de l'une des sections coniques. Malgré cela, Fermat n'a jamais publié son travail sur le sujet.
Grâce à ses avancées, ce que Archimède ne pouvait résoudre que très difficilement et pour des cas isolés, Fermat et Descartes pouvaient le résoudre rapidement et pour un grand nombre de courbes (maintenant appelées courbes algébriques).
Mais ses idées ne furent généralement acceptées que par les efforts des autres mathématiciens de la seconde moitié du dix-septième siècle.
Les mathématiciens Frans van Schooten, Florimond de Beaune et Johan de Witt ont contribué à élargir le travail de Decartes et à ajouter des éléments supplémentaires importants.
Influence
En Angleterre, John Wallis a popularisé la géométrie analytique. Il a utilisé des équations pour définir les coniques et en déduire leurs propriétés. Bien qu'il utilise librement les coordonnées négatives, c'est Isaac Newton qui utilise deux axes obliques pour diviser le plan en quatre quadrants.
Newton et l'allemand Gottfried Leibniz ont révolutionné les mathématiques à la fin du dix-septième siècle en démontrant de manière indépendante le pouvoir du calcul.
Newton a démontré l’importance des méthodes analytiques en géométrie et de son rôle dans le calcul, en affirmant que tout cube (ou toute courbe algébrique du troisième degré) possède trois ou quatre équations standard pour les axes de coordonnées appropriées. Avec l'aide de Newton lui-même, le mathématicien écossais John Stirling l'a testé en 1717.
Géométrie analytique de trois dimensions et plus
Bien que Descartes et Fermat aient tous deux suggéré d'utiliser trois coordonnées pour étudier les courbes et les surfaces dans l'espace, la géométrie analytique tridimensionnelle s'est développée lentement jusqu'en 1730.
Les mathématiciens Euler, Hermann et Clairaut ont produit des équations générales pour les cylindres, les cônes et les surfaces de révolution.
Par exemple, Euler a utilisé des équations pour les traductions dans l'espace afin de transformer la surface quadratique générale, de sorte que ses axes principaux coïncidaient avec ses axes de coordonnées.
Euler, Joseph-Louis Lagrange et Gaspard Monge ont rendu la géométrie analytique indépendante de la géométrie synthétique (non analytique).
Références
- Le développement de la géométrie analytique (2001). Récupéré de encyclopedia.com
- Histoire de la géométrie analytique (2015). Récupéré de maa.org
- Analyse (mathématiques). Récupéré de britannica.com
- Géométrie analytique Récupéré de britannica.com
- Descartes et la naissance de la géométrie analytique. Récupéré de sciencedirect.com