Techniques de comptage technique, applications et exemples

Le techniques de comptage sont une série de méthodes de probabilité permettant de compter le nombre possible d'arrangements dans un ensemble ou plusieurs ensembles d'objets. Celles-ci sont utilisées pour rendre les comptes manuellement compliqués en raison du grand nombre d'objets et / ou de variables.

Par exemple, la solution à ce problème est très simple: imaginez que votre patron vous demande de compter les derniers produits arrivés dans la dernière heure. Dans ce cas, vous pouvez aller compter les produits un par un.

Cependant, imaginez que le problème est le suivant: votre patron vous demande de compter combien de groupes de 5 produits du même type peuvent être formés avec ceux qui ont atteint la dernière heure. Dans ce cas, le calcul est compliqué. Les techniques de comptage sont utilisées pour ce type de situation.

Ces techniques sont multiples, mais les plus importantes sont divisées en deux principes de base, à savoir le multiplicatif et l'additif; permutations et combinaisons.

Index

• 1 principe multiplicatif
  • 1.1 Applications
  • 1.2 Exemple
• 2 Principe additif
  • 2.1 Applications
  • 2.2 Exemple
• 3 permutations
  • 3.1 Applications
  • 3.2 Exemple
• 4 combinaisons
  • 4.1 Applications
  • 4.2 Exemple
• 5 références

Principe multiplicatif

Applications

Le principe multiplicatif, avec l'additif, est fondamental pour comprendre le fonctionnement des techniques de comptage. Dans le cas du multiplicatif, il comprend les éléments suivants:

Imaginez une activité qui implique un certain nombre d'étapes (la note totale comme « r »), où la première étape peut être effectuée de manière N1, N2 la deuxième étape et l'étape « r » manières Nr. Dans ce cas, l'activité peut être effectuée à partir du nombre de formulaires résultant de cette opération: N1 x N2 x ... .x Nr formulaires

C'est pourquoi ce principe est appelé multiplicatif et implique que chacune des étapes nécessaires à la réalisation de l'activité doit être effectuée l'une après l'autre.

Exemple

Imaginons une personne qui veut construire une école. Pour ce faire, considérez que la base du bâtiment peut être construite de deux manières différentes, ciment ou béton. Quant aux murs, ils peuvent être en adobe, en ciment ou en brique.

Quant au toit, il peut être construit en ciment ou en tôle galvanisée. Enfin, la peinture finale ne peut être faite que dans un sens. La question qui se pose est la suivante: combien de manières l’école doit-elle construire?

Tout d'abord, nous considérons le nombre de marches, qui seraient la base, les murs, le toit et le tableau. Au total, 4 étapes, donc r = 4.

La prochaine chose serait de lister le N:

N1 = façons de construire la base = 2

N2 = façons de construire les murs = 3

N3 = façons de faire le toit = ​​2

N4 = façons de faire de la peinture = 1

Par conséquent, le nombre de formulaires possibles serait calculé selon la formule décrite ci-dessus:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 façons de faire l'école.

Principe additif 

Applications

Ce principe est très simple, et que, dans le cas où il existe plusieurs alternatives pour effectuer la même activité, les possibilités sont la somme des différentes façons possibles de faire toutes les alternatives.

En d'autres termes, si nous effectuons une activité trois alternatives où les premières formes M peut être réalisée en variante, les deuxièmes formes N et W dernières formes, l'activité peut être effectuée: M + N + ... + formes W .

Exemple

Imaginez cette fois-ci une personne qui veut acheter une raquette de tennis. Pour cela, il a le choix entre trois marques: Wilson, Babolat ou Head.

Lorsque vous allez au magasin voit qui peuvent être achetés avec une raquette Wilson gérer deux tailles différentes, L2 ou L3 en quatre modèles différents et peuvent être enfilées ou non cordée.

Toutefois, Babolat, a trois poignées (L1, L2 et L3), deux modèles différents et peut également être enfilées ou non cordée.

La raquette Head, quant à elle, n’a qu’une poignée, la L2, dans deux modèles différents et uniquement sans cordage. La question est: combien de façons cette personne doit-elle acheter sa raquette?

M = Nombre de façons de sélectionner une raquette Wilson

N = Nombre de façons de sélectionner une raquette Babolat

W = Nombre de façons de sélectionner une raquette de tête

Nous faisons le principe multiplicateur:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formes

N = 3 x 2 x 2 = 12 formes

W = 1 x 2 x 1 = 2 formes

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 façons de choisir une raquette.

Pour savoir quand vous devez utiliser le principe multiplicatif et additif ne doit examiner si l'activité a un certain nombre d'étapes à réaliser, et s'il existe plusieurs alternatives, l'additif.

Permutations

Applications

Pour comprendre ce qu'est une permutation, il est important d'expliquer ce qu'est une combinaison afin de les différencier et de savoir quand les utiliser.

Une combinaison serait un arrangement d'éléments dans lequel nous ne sommes pas intéressés par la position que chacun d'eux occupe.

Une permutation, en revanche, serait un arrangement d'éléments dans lequel nous nous intéresserions à la position que chacun d'eux occupe.

Donnons un exemple pour mieux comprendre la différence.

Exemple

Imaginez une classe de 35 étudiants et dans les situations suivantes:

1. L'enseignant veut que trois de ses élèves l'aident à garder la classe propre ou à fournir du matériel aux autres élèves quand il en a besoin.
2. L'enseignant veut nommer les délégués de classe (un président, un assistant et un financier).

La solution serait la suivante:

1. Imaginez qu'en votant Juan, María et Lucía soient choisies pour nettoyer la classe ou livrer le matériel. De toute évidence, d'autres groupes de trois personnes auraient pu se former, parmi les 35 étudiants possibles.

Nous devons nous poser les questions suivantes: l'ordre ou la position de chacun des étudiants au moment de leur sélection est-il important?

Si nous y réfléchissons, nous constatons que ce n’est pas important, car le groupe s’occupera des deux tâches de la même manière. Dans ce cas, c'est une combinaison, car nous ne sommes pas intéressés par la position des éléments.

2. Maintenant, imaginez que John soit choisi comme président, Maria comme assistante et Lucia pour les finances.

Dans ce cas, l'ordre importerait-il? La réponse est oui, car si nous modifions les éléments, le résultat change. Autrement dit, si au lieu de mettre Juan comme président, nous le plaçons comme assistant et Maria comme présidente, le résultat final changerait. Dans ce cas, c'est une permutation.

Une fois la différence comprise, nous obtiendrons les formules de permutations et de combinaisons. Cependant, nous devons d'abord définir le terme "n!" (Factorial), car il sera utilisé dans les différentes formules.

n! = au produit de 1 à n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

En utilisant des nombres réels:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

La formule des permutations serait la suivante:

nPr = n! / (n-r)!

Avec cela, nous pouvons trouver les arrangements où l'ordre est important, et où les n éléments sont différents.

Combinaisons

Applications

Comme nous l'avons commenté précédemment, les combinaisons sont les arrangements où l'on ne se soucie pas de la position des éléments.

Sa formule est la suivante:

nCr = n! / (n-r)! r!

Exemple

S'il y a 14 étudiants qui veulent se porter volontaires pour nettoyer la salle de classe, combien de groupes de nettoyage chaque groupe peut-il être formé par 5 personnes?

La solution serait donc la suivante:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = Groupes 2002

Références 

1. Jeffrey, R.C.,La probabilité et l'art du jugement, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Une introduction à la théorie des probabilités et à ses applications", (Vol 1), 3ème Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Fondements logiques et mesure de la probabilité subjective". Acte psychologique.
4. Hogg, Robert V. Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introduction aux statistiques mathématiques (6ème éd.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001)La science de la conjecture: données probantes et probabilités avant PascalJohns Hopkins University Press.