Sarrus règle dans ce qui se compose et les types de déterminants

Le Règle Sarrus il est utilisé pour calculer le résultat des déterminants de 3 × 3. Celles-ci sont utilisées pour résoudre des équations linéaires et savoir si elles sont compatibles.

Les systèmes compatibles vous permettent d’obtenir plus facilement la solution. Ils sont également utilisés pour déterminer si les ensembles de vecteurs sont linéairement indépendants et forment la base de l'espace vectoriel.

Ces applications sont basées sur l'inversibilité des matrices. Si une matrice est régulière, son déterminant est différent de 0. Si singulier, son déterminant est 0. déterminants ne peuvent être calculés dans des matrices carrées.

Pour calculer des matrices de n'importe quel ordre, le théorème de Laplace peut être utilisé. Ce théorème permet de simplifier les matrices de grandes dimensions, en sommes de petits déterminants que nous décomposons à partir de la matrice principale.

Affirme que le déterminant d'une matrice est égal à la somme des produits de chaque ligne ou colonne, par le déterminant de sa matrice attachée.

Cela réduit les déterminants pour qu'un déterminant du degré n devienne n déterminants de n-1. Si nous appliquons cette règle successivement, on peut arriver à obtenir des déterminants de dimension 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), où il est beaucoup plus facile à calculer.

Sarrus Rule

Pierre Frédéric Sarrus était un mathématicien français du 19ème siècle. La plupart de ses traités mathématiques sont basés sur des méthodes de résolution d'équations et de calcul de variations, à l'intérieur des équations numériques.

Dans l'un de ses traités, il résolut l'une des énigmes les plus complexes de la mécanique. Pour résoudre les problèmes des parties articulées, Sarrus a introduit la transformation de mouvements rectilignes alternatifs, en mouvements circulaires uniformes. Ce nouveau système est connu sous le nom de mécanisme Sarrus.

La recherche qui a donné plus de gloire ce mathématicien était celui qui a introduit une nouvelle méthode de calcul pour déterminer, dans l'article « Nouvelles Methodes Pour la résolution des équations » (Nouvelle méthode pour résoudre les équations), qui a été publié dans le année 1833. Cette manière de résoudre les équations linéaires est connue sous le nom de règle de Sarrus.

Sarrus règle pour calculer le déterminant d'une matrice de 3 x 3, sans recourir à l'expansion de Laplace, l'introduction d'un procédé beaucoup plus simple et intuitive. Pour pouvoir vérifier la valeur de la règle de Sarrus, nous prenons toute matrice de dimension 3:

Le calcul de son déterminant serait fait par le produit de ses diagonales principales, en soustrayant le produit des diagonales inverses. Ce serait comme suit:

La règle de Sarrus nous permet d’obtenir une vision beaucoup plus simple lors du calcul des diagonales du déterminant. Cela serait simplifié en ajoutant les deux premières colonnes à l'arrière de la matrice. De cette façon, vous pouvez voir plus clairement quelles sont vos diagonales principales et quelles sont celles qui sont inverses pour le calcul du produit.

Grâce à cette image, nous pouvons voir l’application de la règle Sarrus, nous incluons les lignes 1 et 2, sous la représentation graphique de la matrice initiale. De cette façon, les diagonales principales sont les trois diagonales qui apparaissent en premier lieu.

Les trois diagonales inverses, à leur tour, sont celles qui apparaissent en premier dans le dos.

Ainsi, les diagonales apparaissent d'une manière plus visuelle, sans compliquer la résolution du déterminant, en essayant de comprendre quels sont les éléments de la matrice appartiennent à chaque diagonale.

Comme il apparaît dans l'image, nous choisissons les diagonales et calculons le produit résultant de chaque fonction. Les diagonales qui apparaissent en bleu sont celles qui s’ajoutent. À la somme de celles-ci, nous soustrayons la valeur des diagonales qui apparaissent en rouge.

Pour faciliter la compression, nous pouvons utiliser un exemple numérique, au lieu d'utiliser des termes algébriques et des sous-termes.

Si nous prenons une matrice 3 × 3, par exemple:

Pour appliquer la règle Sarrus et la résoudre de manière plus visuelle, nous devons inclure les lignes 1 et 2, respectivement 4 et 5. Il est important de garder la rangée 1 en 4ème position et la rangée 2 en 5ème position. Parce que si nous les échangeons, la règle Sarrus ne sera pas efficace.

Pour calculer le déterminant, notre matrice ressemblerait à ceci:

Pour continuer le calcul, nous multiplions les éléments des diagonales principales. Les descendants qui commencent par la gauche prendront un signe positif; tandis que les diagonales inverses, qui sont celles qui commencent à droite, portent un signe négatif.

Dans cet exemple, les bleus iraient avec un signe positif et les rouges avec un signe négatif. Le calcul final de la règle Sarrus serait comme suit:

Types de déterminants

Déterminant de la dimension 1

Si la dimension de la matrice est 1, la matrice est comme ceci: A = (a)

Par conséquent, son déterminant serait le suivant: det (A) = | A | = a

En résumé, le déterminant de la matrice A est égal à la valeur absolue de la matrice A, qui dans ce cas est a.

Déterminant de la dimension 2

Si on va aux matrices de dimension 2, on obtient des matrices du type:

Où son déterminant est défini comme:

La résolution de ce déterminant repose sur la multiplication de sa diagonale principale, en soustrayant le produit de sa diagonale inverse.

En tant que règle mnémonique, nous pouvons utiliser le diagramme suivant pour mémoriser son déterminant:

Déterminant de dimension 3

Si la dimension de la matrice est 3, la matrice résultante serait de ce type:

Le déterminant de cette matrice serait résolu par la règle de Sarrus de cette manière:

Références

1. Jenny Olive (1998) Maths: Un guide de survie pour les étudiants. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30 secondes en mathématiques: les 50 théories les plus époustouflantes en mathématiques. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Une étude sur le calcul des déterminants d'une matrice 3 × 3. Éditions Académique Lap Lambert.
5. Anthony Nicolaides (1994) Déterminants et matrices. Publication de passe.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduction à l’algèbre linéaire. Éditorial ESIC.