Trinomial de la forme x ^ 2 + bx + c (avec des exemples)

Avant d'apprendre à résoudre le trinôme de la forme x ^ 2 + bx + c, et avant même de connaître le concept de trinôme, il est important de connaître deux notions essentielles; à savoir, les concepts de monôme et de polynôme. Un monôme est une expression du type a * xⁿ, où a est un nombre rationnel, n est un nombre naturel et x est une variable.

Un polynôme est une combinaison linéaire de monômes de la forme a_n* xⁿ+ un_n-1* x^n-1+ ... + a₂* x²+ un₁* x + a₀, où chacun_je, avec i = 0, ..., n, est un nombre rationnel, n est un nombre naturel et a_n est non nul. Dans ce cas, on dit que le degré du polynôme est n.

Un polynôme formé par la somme de deux termes seulement (deux monômes) de différents degrés est appelé binomial.

Index

• 1 Trinomials
  • 1.1 Trinôme carré parfait
• 2 Caractéristiques des trinômes de grade 2
  • 2.1 carré parfait
  • 2.2 Formule de solvant
  • 2.3 Interprétation géométrique
  • 2.4 Affacturage des trinômes
• 3 exemples
  • 3.1 Exemple 1
  • 3.2 Exemple 2
• 4 références

Trinomials

Un polynôme formé par la somme de trois termes seulement (trois monômes) de différents degrés est appelé trinôme. Voici des exemples de trinômes:

• x³+ x²+ 5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+ 6x + 3

Il existe plusieurs types de trinômes. Parmi ceux-ci met en évidence le trinôme carré parfait.

Trinôme carré parfait

Un trinôme carré parfait est le résultat de l'élévation d'un carré binomial. Par exemple:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+ y)²= 4x⁶+ 4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²et⁴+ 4 ans⁸
• 1 / 16x²et⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Caractéristiques des trinômes de grade 2

Carré parfait

En général, un trinôme de la forme ax²+ bx + c est un carré parfait si son discriminant est égal à zéro; c'est-à-dire si b²-4ac = 0, car dans ce cas il n'aura qu'une racine et pourra s'exprimer sous la forme a (x-d)²= (√a (x-d))², où d est la racine déjà mentionnée.

Une racine d'un polynôme est un nombre dans lequel le polynôme devient nul; en d'autres termes, un nombre qui, en le remplaçant dans x dans l'expression du polynôme, aboutit à zéro.

Formule Solvant

Une formule générale pour calculer les racines d'un polynôme du second degré de la forme ax²+ bx + c est la formule du résolveur, qui stipule que ces racines sont données par (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, où b²-4ac est connu sous le nom de discriminant et est généralement désigné par Δ. De cette formule, il découle cette hache²+ bx + c a:

- Deux racines réelles différentes si Δ> 0.

- une seule racine réelle si Δ = 0.

- Il n'a pas de racine réelle si Δ <0.

Dans ce qui suit, seuls les trinômes de la forme x seront considérés²+ bx + c, où clairement c doit être un nombre différent de zéro (sinon ce serait un binôme). Ce type de trinôme présente certains avantages lors de la prise en compte et du fonctionnement de ces trinômes.

Interprétation géométrique

Géométriquement, le trinomial x²+ bx + c est une parabole qui s'ouvre vers le haut et a le sommet au point (-b / 2, -b²/ 4 + c) du plan cartésien car x²+ bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Cette parabole coupe l’axe Y au point (0, c) et l’axe X aux points (d₁, 0) et (d)₂, 0); alors d₁ et d₂ ce sont les racines du trinôme. Il peut arriver que le trinôme ait une seule racine d, auquel cas la seule coupe avec l'axe X serait (d, 0).

Il se peut aussi que le trinôme n'ait pas de véritables racines, auquel cas il ne coupera pas l'axe X en aucun point.

Par exemple, x²+ 6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² est la parabole avec le sommet dans (-3,0), qui coupe l'axe Y dans (0,9) et l'axe X dans (-3,0).

Factorisation Trinomiale

Un outil très utile pour travailler avec des polynômes est la factorisation, qui consiste à exprimer un polynôme en tant que produit de facteurs. En général, étant donné un trinôme de la forme x²+ bx + c, si cela a deux racines différentes d₁ et d₂, peut être factorisé comme (x-d)₁) (x-d)₂).

Si vous n'avez qu'une seule racine d, vous pouvez la factoriser en (x-d) (x-d) = (x-d)², et si elle n'a pas de vraies racines, elle reste la même; dans ce cas, il ne prend pas en charge l'affacturage en tant que produit de facteurs autres que lui-même.

Cela signifie que, connaissant les racines d'un trinôme de la forme déjà établie, sa factorisation peut être facilement exprimée, et comme déjà mentionné, ces racines peuvent toujours être déterminées en utilisant le résolveur.

Cependant, il existe une quantité importante de ce type de trinômes qui peuvent être pris en compte sans avoir à connaître leurs racines au préalable, ce qui simplifie le travail.

Les racines peuvent être déterminées directement à partir de la factorisation sans avoir besoin d'utiliser la formule du résolveur; ce sont les polynômes de la forme x² + (a + b) x + ab. Dans ce cas, nous avons:

x²+ (a + b) x + ab = x²+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

De là, il est facile d'observer que les racines sont -a et -b.

En d'autres termes, donné un trinôme x²+ bx + c, s'il y a deux nombres u et v tels que c = uv et b = u + v, alors x²+ bx + c = (x + u) (x + v).

C'est-à-dire, donné un trinôme x²+ bx + c, vérifiez d'abord s'il y a deux nombres tels que multiplié den le terme indépendant (c) et ajouté (ou soustrait, selon les cas), donnez le terme qui accompagne le x (b).

Avec tous les trinômes de cette manière, cette méthode peut être appliquée; où vous ne pouvez pas, vous allez au résolvant et appliquez le mentionné ci-dessus.

Des exemples

Exemple 1

Factoriser le trinôme suivant x²+ 3x + 2 on procède comme suit:

Vous devez trouver deux nombres tels que lorsque vous les ajoutez, le résultat est 3 et lorsque vous les multipliez, le résultat est 2.

Après avoir effectué une inspection, on peut conclure que les nombres recherchés sont: 2 et 1. Par conséquent, x²+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemple 2

Factoriser le trinôme x²-5x + 6 recherchent deux nombres dont la somme est -5 et son produit est 6. Les nombres correspondant à ces deux conditions sont -3 et -2. Par conséquent, la factorisation du trinôme donné est x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Références

1. Sources, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul Lulu.com
2. Garo, M. (2014). Mathématiques: équations quadratiques: Comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F. et Paul, R. S. (2003). Mathématiques pour l'administration et l'économie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M. et Estrada, R. (2005). Mathématiques 1 SEP. Seuil
5. Preciado, C. T. (2005). Cours de mathématiques 3ème Progress Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Algèbre I Is Easy! Si facile Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie Pearson Education.