Caractéristiques, propriétés, formules et zones du triangle équilatéral



Un triangle équilatéral c'est un polygone à trois côtés, où tous sont égaux; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Pour cette caractéristique, on lui a donné le nom d'équilatéral (côtés égaux).

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont formés de trois côtés, de trois angles et de trois sommets. Dans le cas du triangle équilatéral, en ayant des côtés égaux, cela implique que ses trois angles seront également égaux.

Index

  • 1 Caractéristiques des triangles équilatéraux
    • 1.1 côtés égaux
    • 1.2 Composants
  • 2 propriétés
    • 2.1 Angles internes
    • 2.2 Angles externes
    • 2.3 Somme des côtés
    • 2.4 côtés congruents
    • 2.5 angles de convergence
    • 2.6 La bissectrice, la médiane et la médiatrice coïncident
    • 2.7 La bissectrice et la hauteur coïncident
    • 2.8 Orthocentre, barycenter, stimulateur et circoncentres coïncident
  • 3 Comment calculer le périmètre?
  • 4 Comment calculer la hauteur?
  • 5 Comment calculer les côtés?
  • 6 Comment calculer la superficie?
  • 7 exercices
    • 7.1 Premier exercice
    • 7.2 Deuxième exercice
    • 7.3 Troisième exercice
  • 8 références

Caractéristiques des triangles équilatéraux

Côtés égaux

Les triangles équilatéraux sont des figures plates et fermées, composées de trois segments de lignes droites. Les triangles sont classés par leurs caractéristiques, par rapport à leurs côtés et à leurs angles; l'équilatéral a été classé en utilisant la mesure de ses côtés comme paramètre, puisque ceux-ci sont exactement les mêmes, c'est-à-dire qu'ils sont congruents.

Le triangle équilatéral est un cas particulier du triangle isocèle, car deux de ses côtés sont congruents. C'est pourquoi tous les triangles équilatéraux sont également isocèles, mais tous les triangles isocèles ne sont pas équilatéraux.

De cette manière, les triangles équilatéraux ont les mêmes propriétés qu'un triangle isocèle.

Les triangles équilatéraux peuvent également être classés par l'amplitude de leurs angles internes sous forme de triangle angulaire équilatéral, qui comporte trois côtés et trois angles internes avec la même mesure. Les angles seront nets, c'est-à-dire qu'ils seront inférieurs à 90o.

Composants

Les triangles en général ont plusieurs lignes et points qui le composent. Ils sont utilisés pour calculer la surface, les côtés, les angles, la médiane, la bissectrice, la perpendiculaire et la hauteur.

  • La médiane: est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes concourent dans un point appelé centrocenter ou centro centroïde.
  • La bissectrice: est un rayon qui divise l'angle des sommets en deux angles de taille égale, c'est pourquoi il est appelé axe de symétrie. Le triangle équilatéral a trois axes de symétrie.

Dans le triangle équilatéral, la bissectrice est tracée du sommet d'un angle vers son côté opposé, en le coupant à son point médian. Celles-ci concordent avec le point appelé incentive.

  • La mediatrix: est un segment perpendiculaire au côté du triangle qui provient du milieu de celui-ci. Il y a trois médiateurs dans un triangle et ils concourent dans un point appelé circuncentro.
  • L'hauteur: est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs qui coïncident à un point appelé orthocentre.

Propriétés

La principale propriété des triangles équilatéraux est qu’ils seront toujours des triangles isocèles, puisque les isocèles sont formés par deux côtés congruents et les côtés équilatéraux par trois.

Ainsi, les triangles équilatéraux ont hérité de toutes les propriétés du triangle isocèle:

Angles Internes

La somme des angles internes est toujours égale à 180o, et puisque tous ses angles sont congruents, chacun d'eux mesurera 60o.

Angles Externes

La somme des angles externes sera toujours égale à 360o, donc chaque angle externe mesurera 120o. En effet, les angles internes et externes sont complémentaires, c’est-à-dire que leur ajout sera toujours égal à 180o.

Somme des côtés

La somme des mesures des deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, c'est-à-dire a + b> c, où a, b et c sont les mesures de chaque côté.

Côtés congruents

Les triangles équilatéraux ont leurs trois côtés avec la même mesure ou la même longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents. Par conséquent, dans l'élément précédent, nous avons a = b = c.

Angles congruents

Les triangles équilatéraux sont également connus sous le nom de triangles équiangulaires, car leurs trois angles internes sont en harmonie les uns avec les autres. C'est parce que tous ses côtés ont également la même mesure.

La bissectrice, la médiane et la médiatrice coïncident

La bissectrice divise le côté d'un triangle en deux parties. Dans les triangles équilatéraux, ce côté sera divisé en deux parties exactement égales, c’est-à-dire que le triangle sera divisé en deux triangles rectangles congrus.

Ainsi, la bissectrice tirée d'un angle quelconque d'un triangle équilatéral coïncide avec la médiane et la bissectrice du côté opposé à cet angle.

Exemple:

La figure suivante montre le triangle ABC avec un point milieu D qui divise l'un de ses côtés en deux segments AD et BD.

Lorsque vous tracez une ligne du point D au sommet opposé, vous obtenez par définition le CD médian, qui est relatif au sommet C et au côté AB.

Comme le segment CD divise le triangle ABC en deux triangles égaux CDA et CDB, signifie que le cas de congruence doit pouvoir: côté d'angle de côté et ne seront donc également bissectrice CD BCD.

Lorsque vous dessinez le segment de CD, divisez l'angle du sommet en deux angles égaux de 30o, l'angle du sommet A continue à mesurer 60o et le CD droit forme un angle de 90o par rapport au point médian D.

La forme de segment de CD angles avec la même mesure de l'ADC et triangles BDC, à savoir, ils sont complémentaires de telle sorte que l'étendue de chacun est:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

Et donc, nous avons que le segment CD est aussi la bissectrice du côté AB.

La bissectrice et la hauteur coïncident

En dessinant la bissectrice du sommet d'un angle par rapport au point médian du côté opposé, ce divise le triangle équilatéral en deux triangles congruents.

De manière à former un angle de 90o (droite). Cela indique que ce segment de ligne est totalement perpendiculaire à ce côté et que, par définition, cette ligne serait la hauteur.

De cette manière, la bissectrice d’un angle quelconque d’un triangle équilatéral coïncide avec la hauteur relative du côté opposé de cet angle.

Orthocentre, barycenter, stimulateur et circoncentres coïncident

Comme hauteur, moyen et bissectrice bissectrice sont représentés à la fois par le même segment, dans un des points de rencontre équilatéraux de ces segments l'orthocentre, centroïde, incenter et triangle circuncentro-, étaient dans le même point:

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé par la somme des côtés. Puisque dans ce cas le triangle équilatéral a tous ses côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 3 * côté

Comment calculer la hauteur?

La hauteur étant la ligne perpendiculaire à la base, elle la divise en deux parties égales en l'étendant au sommet opposé. Ainsi, deux triangles droits égaux sont formés.

La hauteur (h) représente le côté opposé (a), la moitié du côté BC côté courant alternatif à la jambe voisine (b) représente l'hypoténuse (c).

En utilisant le théorème de Pythagore, vous pouvez déterminer la valeur de la hauteur:

un2 + b2 = c2

Où:

un2 = hauteur (h).

b2 = côté b / 2.

c2 = côté a

En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore et en clarifiant la hauteur, nous avons:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 + l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2 /4

√h2 = √ (3*l2 /4)

Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur (représentée par une jambe) peut être calculée en appliquant les rapports trigonométriques.

Les pattes sont appelées opposées ou adjacentes en fonction de l’angle pris comme référence.

Par exemple, dans la figure précédente, le cathéter h sera opposé à l'angle C, mais adjacent à l'angle B:

Ainsi, la hauteur peut être calculée avec:

Comment calculer les côtés?

Il existe des cas où les mesures des côtés du triangle ne sont pas connues, mais leur hauteur et les angles formés dans les sommets.

Pour déterminer la zone dans ces cas, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques.

Connaissant l'angle d'un de ses sommets, les pattes sont identifiées et le rapport trigonométrique correspondant est utilisé:

Ainsi, la jambe AB sera opposé à l'angle C, mais adjacent à l'angle A. Selon côté ou correspondant à la jambe de la hauteur, de l'autre côté est effacé pour obtenir la valeur de cela, sachant que dans un triangle équilatéral trois les côtés auront toujours la même mesure.

Comment calculer la surface?

La surface des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Area = (b * h) ÷ 2

Sachant que la taille est donnée par la formule:

Des exercices

Premier exercice

Les côtés d'un triangle équilatéral ABC mesurent chacun 20 cm. Calculez la hauteur et l'aire de ce polygone.

Solution

Pour déterminer l'aire de ce triangle équilatéral, il est nécessaire de calculer la hauteur, sachant que lors du dessin, il divise le triangle en deux triangles égaux.

De cette manière, le théorème de Pythagore peut être utilisé pour le trouver:

un2 + b2 = c2

Où:

a = 20/2 = 10 cm.

b = hauteur

c = 20 cm

Les données du théorème sont remplacées:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

C'est-à-dire que la hauteur du triangle est égale à 17,32 cm. Maintenant, il est possible de calculer l'aire du triangle donné en substituant dans la formule:

Area = (b * h) ÷ 2

Surface = 20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Surface = 346,40 cm2 ÷ 2

Surface = 173,20 cm2.

Un autre moyen plus simple de résoudre l'exercice consiste à substituer les données dans la formule directe de la zone, où la valeur de la hauteur est également implicitement trouvée:

Deuxième exercice

Dans un pays en forme de triangle équilatéral, des fleurs seront plantées. Si le périmètre de cette terre est égal à 450 m, calculez le nombre de mètres carrés occupés par les fleurs.

Solution

Sachant que le périmètre d'un triangle correspond à la somme de ses trois côtés et que le terrain a la forme d'un triangle équilatéral, les trois côtés de ce triangle auront la même mesure ou la même longueur:

P = coté + coté + coté = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m

Maintenant, il suffit de calculer la hauteur de ce triangle.

La hauteur divise le triangle en deux triangles rectilignes congruents, l'un des membres représentant la hauteur et l'autre moitié de la base. Par le théorème de Pythagore, la hauteur peut être déterminée:

un2 + b2 = c2

Où:

un = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = hauteur

Les données du théorème sont remplacées:

(75 m)2 + b2 = (150 m)2

5 625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16 875 m

b = √ 16,875 m

b = 129,90 m.

La zone qui occupera les fleurs sera donc:

Surface = b * h ÷ 2

Surface = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Surface = (19 485 m2) ÷ 2

Surface = 9 742,5 m2

Troisième exercice

Le triangle équilatéral ABC est divisé par un segment de droite qui va de son sommet C au point médian D, situé du côté opposé (AB). Ce segment mesure 62 mètres. Calculez l'aire et le périmètre de ce triangle équilatéral.

Solution

Sachant que le triangle équilatéral est divisé par un segment de droite qui correspond à la hauteur, formant ainsi deux triangles rectangles congrus, il divise à son tour l'angle du sommet C en deux angles de même mesure, 30o chacun.

La hauteur forme un angle de 90o par rapport au segment AB, et l'angle du sommet A mesurera alors 60o.

Puis en utilisant comme référence l'angle de 30o, la hauteur CD est établie comme une jambe adjacente à l'angle et BC comme hypoténuse.

A partir de ces données, la valeur de l’un des côtés du triangle peut être déterminée en utilisant les rapports trigonométriques:

Comme dans le triangle équilatéral, tous les côtés ont exactement la même mesure ou la même longueur, cela signifie que chaque côté du triangle équilatéral ABC est égal à 71,6 mètres. Sachant cela, il est possible de déterminer votre région:

Surface = b * h ÷ 2

Surface = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Surface = 4 438,6 m2 ÷ 2

Surface = 2 219,3 m2

Le périmètre est donné par la somme de ses trois côtés:

P = coté + coté + coté = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Références

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Dessin technique: cahier d’activité.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algèbre La Havane: Culture.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Géométrie euclidienne plate. SBM. Rio de Janeiro.
  5. Coxford, A. (1971). Géométrie Une approche de transformation. USA: Frères Laidlaw.
  6. Euclide, R. P. (1886). Les éléments de géométrie d'Euclide.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Géométrie et trigonométrie
  8. León Fernández, G. S. (2007). Géométrie Intégrée Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algèbre et trigonométrie. Pearson Education.