Historique du système octal, système de numérotation et conversions

Le système octal c'est un système de numération positionnelle de base huit (8); c'est-à-dire qu'il est composé de huit chiffres, à savoir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Par conséquent, chaque chiffre d'un nombre octal peut avoir n'importe quelle valeur de 0 à 7. Les nombres octaux ils sont formés à partir des nombres binaires.

C'est parce que sa base est une puissance exacte de deux (2). Autrement dit, les nombres appartenant au système octal sont formés lorsque ceux-ci sont regroupés en trois chiffres consécutifs, disposés de droite à gauche, obtenant ainsi leur valeur décimale.

Index

• 1 histoire
• 2 système de numérotation octal
• 3 Conversion du système octal en décimal
  • 3.1 Exemple 1
  • 3.2 Exemple 2
• 4 Conversion du système décimal en octal
  • 4.1 Exemple
• 5 Conversion du système octal en binaire
• 6 Conversion du système binaire en octal
• 7 Conversion du système octal en hexadécimal et vice versa
  • 7.1 Exemple
• 8 références

Histoire

Le système octal a son origine dans l'antiquité, lorsque les gens utilisaient leurs mains pour compter huit à huit animaux.

Par exemple, pour compter le nombre de vaches dans une grange, la main droite a commencé à être comptée, rejoignant le pouce avec le petit doigt; puis, pour compter le deuxième animal, le pouce a été joint à l'index, et ainsi de suite avec les doigts restants de chaque main, jusqu'à ce que 8 aient terminé.

Il est possible que dans les temps anciens, le système de numérotation octal soit utilisé avant la décimale pour pouvoir compter les espaces interdigitaux; c'est-à-dire compter tous les doigts sauf les pouces.

Par la suite, le système de numérotation octal a été établi, qui provient du système binaire, car il nécessite de nombreux chiffres pour ne représenter qu'un seul nombre; à partir de là, les systèmes octogonaux et hexagonaux ont été créés, qui ne nécessitent pas autant de chiffres et peuvent être facilement convertis au système binaire.

Système de numérotation octal

Le système octal se compose de huit chiffres allant de 0 à 7. Ceux-ci ont la même valeur que dans le cas du système décimal, mais leur valeur relative change en fonction de la position qu'ils occupent. La valeur de chaque position est donnée par les puissances de base 8.

Les positions des chiffres dans un nombre octal ont les poids suivants:

8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰point octal 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, 8^-5.

Le plus grand chiffre octal est 7; de cette façon, lorsque ce système est compté, une position à un chiffre est augmentée de 0 à 7. Quand il atteint 7, il est recyclé à 0 pour le compte suivant; de cette façon, la position suivante du chiffre est augmentée. Par exemple, pour compter les séquences, dans le système octal ce sera:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Il y a un théorème fondamental qui est appliqué au système octal et qui s'exprime comme suit:

Dans cette expression, di représente le chiffre multiplié par la puissance de base 8, qui indique la valeur de position de chaque chiffre, de la même manière qu'il est ordonné dans le système décimal.

Par exemple, vous avez le numéro 543.2. Pour le porter au système octal, il est décomposé de la manière suivante:

N = Σ [(5 _* 8²) + (4 _* 8¹) + (3 _*8⁰) + (2 _*8^-1)] = (5 * 64) +(4 * 8) + (2*1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25_d

De cette façon, vous devez 543.2_q = 354,25_d. L'indice q indique qu'il s'agit d'un nombre octal pouvant également être représenté par le nombre 8; et l'indice d se réfère au nombre décimal, qui peut également être représenté par le nombre 10.

Conversion du système octal en décimal

Pour convertir un nombre du système octal en son équivalent dans le système décimal, il suffit de multiplier chaque chiffre octal par sa valeur de position, en partant de la droite.

Exemple 1

732₈ = (7_* 8²) + (3_* 8¹) + (2_* 8⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

Exemple 2

26,9₈ = (2 _*8¹) + (6_* 8⁰) + (9_* 8^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9₈= 23,125₁₀

Conversion du système décimal en octal

Un entier décimal peut être converti en un nombre octal à l'aide de la méthode de division répétée, où l'entier décimal est divisé par 8 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0, et les résidus de chaque division représentent le nombre octal.

Les déchets sont triés du dernier au premier; c'est-à-dire que le premier résidu sera le chiffre le moins significatif du nombre octal. De cette façon, le chiffre le plus significatif sera le dernier résidu.

Exemple

Octal du nombre décimal 266₁₀

- Diviser le nombre décimal 266 entre 8 = 266/8 = 33 + résiduel de 2.

- Alors le 33 est divisé par 8 = 33/8 = 4 + résidu de 1.

- Diviser 4 par 8 = 4/8 = 0 + résiduel de 4.

Comme pour la dernière division on obtient un quotient inférieur à 1, cela signifie que le résultat a été trouvé; seuls les restes doivent être triés de manière inverse, de telle sorte que le nombre octal du nombre décimal 266 est 412, comme on peut le voir dans l'image suivante:

Conversion du système octal en binaire

La conversion du système octal en binaire est effectuée en convertissant le chiffre octal en son chiffre binaire équivalent, formé de trois chiffres. Il y a un tableau qui montre comment les huit chiffres possibles sont convertis:

À partir de ces conversions, tout nombre du système octal vers le binaire peut être modifié, par exemple, pour convertir le nombre 572₈ vos équivalents sont recherchés dans le tableau. Donc, vous devez:

5₈ = 101

7₈=111

2₈ = 10

Par conséquent, 572₈ équivalent dans le système binaire à 10111110.

Conversion du système binaire en octal

Le processus de conversion d'entiers binaires en entiers octaux est l'opération inverse du processus précédent.

C'est-à-dire que les bits du nombre binaire sont regroupés en deux groupes de trois bits, de droite à gauche. Ensuite, la conversion binaire en octal est effectuée avec le tableau précédent.

Dans certains cas, le nombre binaire n'aura pas de groupes de 3 bits; pour le compléter, ajoutez un ou deux zéros à gauche du premier groupe.

Par exemple, pour modifier le nombre binaire 11010110 en octal, procédez comme suit:

- Des groupes de 3 bits sont formés à partir de la droite (dernier bit):

11010110

- Le premier groupe étant incomplet, un zéro est ajouté à gauche:

011010110

- La conversion est faite à partir de la table:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Ainsi, le nombre binaire 011010110 est équivalent à 326₈.

Conversion du système octal en hexadécimal et vice versa

Pour passer du nombre octal au système hexadécimal ou de l'hexadécimal au octal, il faut d'abord convertir le nombre en binaire, puis le système souhaité.

Pour cela, il existe un tableau où chaque chiffre hexadécimal est représenté avec son équivalence dans le système binaire, composé de quatre chiffres.

Dans certains cas, le nombre binaire n'aura pas de groupe de 4 bits; pour le compléter, ajoutez un ou deux zéros à gauche du premier groupe

Exemple

Convertissez le nombre octal 1646 en un nombre hexadécimal:

- Le nombre d'octal en binaire est converti

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

- Donc, 1646₈ = 1110100110.

- Pour convertir de binaire en hexadécimal, ils sont d'abord classés dans un groupe de 4 bits, en commençant de droite à gauche:

11 1010 0110

- Le premier groupe est complété par des zéros, de sorte qu'il puisse avoir 4 bits:

0011 1010 0110

- La conversion du système binaire en hexadécimal est effectuée. Les équivalences sont remplacées par le tableau:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Ainsi, le nombre octal 1646 est équivalent à 3A6 dans le système hexadécimal.

Références

1. Bressan, A. E. (1995). Introduction aux systèmes de numérotation. Université argentine de la société.
2. Harris, J. N. (1957). Introduction aux systèmes de numérotation binaire et octal: Lexington, Mass. Agence d'information technique sur les services armés.
3. Kumar, A. A. (2016). Principes fondamentaux des circuits numériques. Apprendre Pvt.
4. Peris, X. C. (2009). Systèmes d'exploitation Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, N. S. (2003). Systèmes numériques: principes et applications. Pearson Education.