Quels types d'intégrales y a-t-il?

Le types d'intégrales nous trouvons dans le calcul: intégrales indéfinies et intégrales définies. Bien que les intégrales définies aient beaucoup plus d'applications que les intégrales indéfinies, il faut d'abord apprendre à résoudre les intégrales indéfinies.

L'une des applications les plus attrayantes des intégrales définies est le calcul du volume d'un solide de révolution.

Les deux types d'intégrales ont les mêmes propriétés de linéarité et les techniques d'intégration ne dépendent pas du type d'intégrale.

Mais en dépit d'être très similaire, il y a une différence principale; dans le premier type d'intégrale, le résultat est une fonction (qui n'est pas spécifique) alors que dans le second type, le résultat est un nombre.

Deux types de base d'intégrales

Le monde des intégrales est très vaste mais en son sein, nous pouvons distinguer deux types d'intégrales de base, qui ont une grande applicabilité dans la vie quotidienne.

1- Intégrales indéfinies

Si F '(x) = f (x) pour tout x du domaine de f, on dit que F (x) est une antiderivative, une primitive ou une intégrale de f (x).

Par contre, on observe que (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ce qui implique que l’intégrale d’une fonction n’est pas unique, puisque donner des valeurs différentes à la constante C les antidépresseurs.

Pour cette raison, F (x) + C s'appelle l’intégrale indéfinie de f (x) et C est appelée constante d’intégration et on l’écrit de la manière suivante

Comme nous pouvons le voir, l'intégrale indéfinie de la fonction f (x) est une famille de fonctions.

Par exemple, si vous voulez calculer l’intégrale indéfinie de la fonction f (x) = 3x², vous devez d’abord trouver un antiderivatif de f (x).

Il est facile de noter que F (x) = x³ est un antiderivatif, puisque F '(x) = 3x². Par conséquent, on peut conclure que

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Intégrales définies

Soit y = f (x) une fonction réelle, continue dans un intervalle fermé [a, b] et que F (x) soit un antiderivatif de f (x). Il est appelé intégrale définie de f (x) entre les limites a et b au nombre F (b) -F (a), et est noté comme suit

La formule présentée ci-dessus est mieux connue sous le nom de "théorème fondamental du calcul". Ici, on appelle "a" la limite inférieure et "b" la limite supérieure. Comme vous pouvez le voir, l’intégrale définie d’une fonction est un nombre.

Dans ce cas, si l’intégrale définie de f (x) = 3x² est calculée dans l’intervalle [0,3], un nombre sera obtenu.

Pour déterminer ce nombre, nous choisissons F (x) = x³ comme antiderivative de f (x) = 3x². Ensuite, nous calculons F (3) -F (0) qui nous donne le résultat 27-0 = 27. En conclusion, l’intégrale définie de f (x) dans l’intervalle [0,3] est de 27.

On peut souligner que si G (x) = x³ + 3 est choisi, alors G (x) est un antiderivatif de f (x) autre que F (x), mais cela n’affecte pas le résultat puisque G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Pour cette raison, dans les intégrales définies, la constante d'intégration n'apparaît pas.

Une des applications les plus utiles de ce type d’intégrale est qu’elle permet de calculer l’aire (volume) d’une figure plate (d’un solide de révolution), en établissant des fonctions et des limites d’intégration appropriées (et un axe de rotation).

Dans les intégrales définies, nous pouvons trouver diverses extensions, comme par exemple des intégrales de lignes, des intégrales de surface, des intégrales impropres, des intégrales multiples, entre autres, le tout avec des applications très utiles en science et en ingénierie.

Références

1. Casteleiro, J. M. (2012). Est-ce facile à intégrer? Manuel d'auto-apprentissage. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M. et Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Calcul complet (Éditeur illustré). Madrid: éditorial ESIC.
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5. Kishan, H. (2005). Calcul intégral. Atlantic Publishers & Distributors.
6. Purcell, E. J., Varberg, D. et Rigdon, S. E. (2007). Calcul (Neuvième éd.). Prentice Hall.