Que sont les cousins ​​relatifs? Caractéristiques et exemples



Il s'appelle cousins ​​relatifs (coprimos ou cousins ​​les uns par rapport aux autres) à toute paire d'entiers n'ayant pas de diviseur en commun, sauf 1.

En d'autres termes, deux nombres entiers sont des nombres premiers relatifs si, dans leurs décompositions en nombres premiers, ils n'ont pas de facteur en commun.

Par exemple, si 4 et 25 sont choisis, les décompositions de facteur premier de chacun sont respectivement 2² et 5². Comme on l’apprécie, ceux-ci n’ont aucun facteur commun, donc 4 et 25 sont des nombres premiers relatifs.

Par contre, si les 6 et les 24 sont choisis, en effectuant leurs décompositions en facteurs premiers, on obtient que 6 = 2 * 3 et 24 = 2³ * 3.

Comme vous pouvez le voir, ces deux dernières expressions ont au moins un facteur en commun. Par conséquent, elles ne sont pas des nombres premiers relatifs.

Cousins ​​Relatifs

Une chose à prendre en compte est que dire qu'une paire d'entiers sont des nombres premiers relatifs, c'est que cela n'implique pas que l'un d'eux soit un nombre premier.

En revanche, la définition ci-dessus peut être résumée comme suit: deux entiers "a" et "b" sont des nombres premiers relatifs si, et seulement si, le plus grand commun diviseur de ceux-ci est 1, c'est-à-dire mcd ( a, b) = 1.

Deux conclusions immédiates de cette définition sont les suivantes:

-Si "a" (ou "b") est un nombre premier, alors mcd (a, b) = 1.

-Si "a" et "b" sont des nombres premiers, alors mcd (a, b) = 1.

Autrement dit, si au moins un des nombres choisis est un nombre premier, alors directement la paire de nombres est des nombres premiers relatifs.

Autres fonctionnalités

D'autres résultats utilisés pour déterminer si deux nombres sont des nombres premiers relatifs sont:

-Si deux entiers sont consécutifs, alors ce sont des nombres premiers relatifs.

-Deux nombres naturels "a" et "b" sont des nombres premiers relatifs si, et seulement si, les nombres "(2 ^ a) -1" et "(2 ^ b) -1" sont des nombres premiers relatifs.

-Deux entiers "a" et "b" sont des nombres premiers relatifs, et seulement si, en traçant le point (a, b) dans le plan cartésien, et construisons la ligne qui passe par l'origine (0,0) et ( a, b), cela ne contient aucun point avec des coordonnées entières.

Des exemples

1.- Considérons les nombres entiers 5 et 12. Les décompositions des facteurs premiers des deux nombres sont respectivement 5 et 2² * 3. En conclusion, gcd (5,12) = 1, donc 5 et 12 sont des nombres premiers relatifs.

2.- Laissez les nombres -4 et 6. Alors -4 = -2² et 6 = 2 * 3, de sorte que l'écran LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. En conclusion -4 et 6 ne sont pas des cousins ​​relatifs.

Si nous continuons à représenter graphiquement la ligne passant par les paires ordonnées (-4,6) et (0,0), et pour déterminer l’équation de cette ligne, nous pouvons vérifier qu’elle passe par le point (-2,3).

Encore une fois, on conclut que -4 et 6 ne sont pas des nombres premiers relatifs.

3.- Les nombres 7 et 44 sont des nombres premiers relatifs et peuvent être rapidement conclus grâce à ce qui précède, puisque 7 est un nombre premier.

4.- Considérons les nombres 345 et 346. Étant deux nombres consécutifs, il est vérifié que mcd (345,346) = 1, donc 345 et 346 sont des nombres premiers relatifs.

5.- Si les nombres 147 et 74 sont considérés, alors ce sont des nombres premiers relatifs, puisque 147 = 3 * 7² et 74 = 2 * 37, donc le gcd (147,74) = 1.

6.- Les nombres 4 et 9 sont des nombres premiers relatifs. Pour le démontrer, la deuxième caractérisation mentionnée ci-dessus peut être utilisée. En effet, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 et 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Les nombres obtenus sont 15 et 511. Les décompositions des facteurs premiers de ces nombres sont respectivement 3 * 5 et 7 * 73, de sorte que mcd (15 511) = 1.

Comme vous pouvez le constater, utiliser la deuxième caractérisation est une tâche plus longue et plus laborieuse que de la vérifier directement.

7.- Considérons les nombres -22 et -27. Ensuite, ces nombres peuvent être réécrits comme suit: -22 = -2 * 11 et -27 = -3³. Par conséquent, le gcd (-22, -27) = 1, donc -22 et -27 sont des nombres premiers relatifs.

Références

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